Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49686 / 58375
↖ ↑ ↗
← N 19.292998°
W 43.533325°		 ← 288.27 m → N 19.292998°
W 43.530578°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 19.290405°
W 43.533325°		 ← 288.28 m →
83 106 m²		 N 19.290405°
W 43.530578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379077911376953 y=0.445369720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379077911376953 × 217)
    floor (0.379077911376953 × 131072)
    floor (49686.5)     		tx = 49686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445369720458984 × 217)
    floor (0.445369720458984 × 131072)
    floor (58375.5)     		ty = 58375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49686 / 58375 ti = "17/49686/58375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49686/58375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49686 ÷ 217
    49686 ÷ 131072     		x = 0.379074096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58375 ÷ 217
    58375 ÷ 131072     		y = 0.445365905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379074096679688 × 2 - 1) × π
    -0.241851806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75979986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445365905761719 × 2 - 1) × π
    0.109268188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.343276138179222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75979986} λ = -0.75979986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343276138179222))-π/2
    2×atan(1.40955794095371)-π/2
    2×0.953761332212915-π/2
    1.90752266442583-1.57079632675     		φ = 0.33672634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75979986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.533325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33672634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.292998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49686 KachelY 58375 -0.75979986 0.33672634 -43.533325 19.292998
    Oben rechts KachelX + 1 49687 KachelY 58375 -0.75975192 0.33672634 -43.530578 19.292998
    Unten links KachelX 49686 KachelY + 1 58376 -0.75979986 0.33668109 -43.533325 19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 49687 KachelY + 1 58376 -0.75975192 0.33668109 -43.530578 19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33672634-0.33668109) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33672634-0.33668109) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75979986--0.75975192) × cos(0.33672634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943841335256872 × 6371000     		do = 288.273438263229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75979986--0.75975192) × cos(0.33668109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 288.278004253071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33672634)-sin(0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943841335256872-0.943856284847703)×R²
    abs(-0.75975192--0.75979986)×1.49495908312591e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49495908312591e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49495908312591e-05×40589641000000     		ar = 83106.3590753492m²