Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49685 / 82923
↖ ↑ ↗
← S 43.026737°
W 43.536072°		 ← 223.28 m → S 43.026737°
W 43.533325°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
S 43.028745°
W 43.536072°		 ← 223.27 m →
49 858 m²		 S 43.028745°
W 43.533325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379070281982422 y=0.632656097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379070281982422 × 217)
    floor (0.379070281982422 × 131072)
    floor (49685.5)     		tx = 49685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632656097412109 × 217)
    floor (0.632656097412109 × 131072)
    floor (82923.5)     		ty = 82923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49685 / 82923 ti = "17/49685/82923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49685/82923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49685 ÷ 217
    49685 ÷ 131072     		x = 0.379066467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82923 ÷ 217
    82923 ÷ 131072     		y = 0.632652282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.241867065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75984780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632652282714844 × 2 - 1) × π
    -0.265304565429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.833478873693916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75984780} λ = -0.75984780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.833478873693916))-π/2
    2×atan(0.434534961529709)-π/2
    2×0.40991904608505-π/2
    0.819838092170099-1.57079632675     		φ = -0.75095823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75984780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.536072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75095823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.026737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49685 KachelY 82923 -0.75984780 -0.75095823 -43.536072 -43.026737
    Oben rechts KachelX + 1 49686 KachelY 82923 -0.75979986 -0.75095823 -43.533325 -43.026737
    Unten links KachelX 49685 KachelY + 1 82924 -0.75984780 -0.75099328 -43.536072 -43.028745
    Unten rechts KachelX + 1 49686 KachelY + 1 82924 -0.75979986 -0.75099328 -43.533325 -43.028745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75095823--0.75099328) × R
    3.50500000000364e-05 × 6371000     		dl = 223.303550000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75095823--0.75099328) × R
    3.50500000000364e-05 × 6371000     		dr = 223.303550000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75984780--0.75979986) × cos(-0.75095823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731035366344695 × 6371000     		do = 223.277017731853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75984780--0.75979986) × cos(-0.75099328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73101144989362 × 6371000     		du = 223.269713032085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75095823)-sin(-0.75099328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731035366344695-0.73101144989362)×R²
    abs(-0.75979986--0.75984780)×2.39164510751344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39164510751344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39164510751344e-05×40589641000000     		ar = 49857.7351153914m²