Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49685 / 53683
↖ ↑ ↗
← N 30.932857°
W 43.536072°		 ← 261.99 m → N 30.932857°
W 43.533325°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
N 30.930501°
W 43.536072°		 ← 261.99 m →
68 635 m²		 N 30.930501°
W 43.533325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379070281982422 y=0.409572601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379070281982422 × 217)
    floor (0.379070281982422 × 131072)
    floor (49685.5)     		tx = 49685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409572601318359 × 217)
    floor (0.409572601318359 × 131072)
    floor (53683.5)     		ty = 53683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49685 / 53683 ti = "17/49685/53683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49685/53683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49685 ÷ 217
    49685 ÷ 131072     		x = 0.379066467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53683 ÷ 217
    53683 ÷ 131072     		y = 0.409568786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379066467285156 × 2 - 1) × π
    -0.241867065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.75984780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409568786621094 × 2 - 1) × π
    0.180862426757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.568196071196526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75984780} λ = -0.75984780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.568196071196526))-π/2
    2×atan(1.76508009894935)-π/2
    2×1.05533826234647-π/2
    2.11067652469294-1.57079632675     		φ = 0.53988020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75984780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.536072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53988020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.932857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49685 KachelY 53683 -0.75984780 0.53988020 -43.536072 30.932857
    Oben rechts KachelX + 1 49686 KachelY 53683 -0.75979986 0.53988020 -43.533325 30.932857
    Unten links KachelX 49685 KachelY + 1 53684 -0.75984780 0.53983908 -43.536072 30.930501
    Unten rechts KachelX + 1 49686 KachelY + 1 53684 -0.75979986 0.53983908 -43.533325 30.930501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53988020-0.53983908) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dl = 261.975520000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53988020-0.53983908) × R
    4.11200000000056e-05 × 6371000     		dr = 261.975520000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75984780--0.75979986) × cos(0.53988020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857770268700542 × 6371000     		do = 261.98511906769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75984780--0.75979986) × cos(0.53983908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.857791405021955 × 6371000     		du = 261.991574644299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53988020)-sin(0.53983908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857770268700542-0.857791405021955)×R²
    abs(-0.75979986--0.75984780)×2.11363214128735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11363214128735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11363214128735e-05×40589641000000     		ar = 68634.5334111404m²