Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49683 / 58349
↖ ↑ ↗
← N 19.360385°
W 43.541565°		 ← 288.15 m → N 19.360385°
W 43.538818°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.357793°
W 43.541565°		 ← 288.16 m →
83 035 m²		 N 19.357793°
W 43.538818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379055023193359 y=0.445171356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379055023193359 × 217)
    floor (0.379055023193359 × 131072)
    floor (49683.5)     		tx = 49683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445171356201172 × 217)
    floor (0.445171356201172 × 131072)
    floor (58349.5)     		ty = 58349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49683 / 58349 ti = "17/49683/58349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49683/58349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49683 ÷ 217
    49683 ÷ 131072     		x = 0.379051208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58349 ÷ 217
    58349 ÷ 131072     		y = 0.445167541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379051208496094 × 2 - 1) × π
    -0.241897583007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.75994367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445167541503906 × 2 - 1) × π
    0.109664916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.344522497569344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75994367} λ = -0.75994367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344522497569344))-π/2
    2×atan(1.41131585199624)-π/2
    2×0.954349393744287-π/2
    1.90869878748857-1.57079632675     		φ = 0.33790246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75994367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.541565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33790246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.360385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49683 KachelY 58349 -0.75994367 0.33790246 -43.541565 19.360385
    Oben rechts KachelX + 1 49684 KachelY 58349 -0.75989573 0.33790246 -43.538818 19.360385
    Unten links KachelX 49683 KachelY + 1 58350 -0.75994367 0.33785723 -43.541565 19.357793
    Unten rechts KachelX + 1 49684 KachelY + 1 58350 -0.75989573 0.33785723 -43.538818 19.357793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33790246-0.33785723) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33790246-0.33785723) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75994367--0.75989573) × cos(0.33790246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943452093624806 × 6371000     		do = 288.154553849717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75994367--0.75989573) × cos(0.33785723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943467086807057 × 6371000     		du = 288.159133153501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33790246)-sin(0.33785723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943452093624806-0.943467086807057)×R²
    abs(-0.75989573--0.75994367)×1.49931822515104e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49931822515104e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49931822515104e-05×40589641000000     		ar = 83035.3711293725m²