Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49682 / 82936
↖ ↑ ↗
← S 43.052834°
W 43.544312°		 ← 223.18 m → S 43.052834°
W 43.541565°		 →
↑
223.18 m
↓
↑
223.18 m
↓
S 43.054841°
W 43.544312°		 ← 223.17 m →
49 808 m²		 S 43.054841°
W 43.541565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379047393798828 y=0.632755279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379047393798828 × 217)
    floor (0.379047393798828 × 131072)
    floor (49682.5)     		tx = 49682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632755279541016 × 217)
    floor (0.632755279541016 × 131072)
    floor (82936.5)     		ty = 82936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49682 / 82936 ti = "17/49682/82936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49682/82936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49682 ÷ 217
    49682 ÷ 131072     		x = 0.379043579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82936 ÷ 217
    82936 ÷ 131072     		y = 0.63275146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379043579101562 × 2 - 1) × π
    -0.241912841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75999161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63275146484375 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.834102053388977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75999161} λ = -0.75999161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834102053388977))-π/2
    2×atan(0.434264252523828)-π/2
    2×0.40969131131771-π/2
    0.819382622635421-1.57079632675     		φ = -0.75141370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75999161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.544312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75141370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.052834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49682 KachelY 82936 -0.75999161 -0.75141370 -43.544312 -43.052834
    Oben rechts KachelX + 1 49683 KachelY 82936 -0.75994367 -0.75141370 -43.541565 -43.052834
    Unten links KachelX 49682 KachelY + 1 82937 -0.75999161 -0.75144873 -43.544312 -43.054841
    Unten rechts KachelX + 1 49683 KachelY + 1 82937 -0.75994367 -0.75144873 -43.541565 -43.054841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75141370--0.75144873) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dl = 223.176130000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75141370--0.75144873) × R
    3.5030000000047e-05 × 6371000     		dr = 223.176130000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75999161--0.75994367) × cos(-0.75141370) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730724505322326 × 6371000     		do = 223.182072774576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75999161--0.75994367) × cos(-0.75144873) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.730700590857472 × 6371000     		du = 223.174768681451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75141370)-sin(-0.75144873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730724505322326-0.730700590857472)×R²
    abs(-0.75994367--0.75999161)×2.39144648536138e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39144648536138e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39144648536138e-05×40589641000000     		ar = 49808.0962427659m²