Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49681 / 53746
↖ ↑ ↗
← N 30.784318°
W 43.547058°		 ← 262.34 m → N 30.784318°
W 43.544312°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 30.781958°
W 43.547058°		 ← 262.34 m →
68 827 m²		 N 30.781958°
W 43.544312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379039764404297 y=0.410053253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379039764404297 × 217)
    floor (0.379039764404297 × 131072)
    floor (49681.5)     		tx = 49681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410053253173828 × 217)
    floor (0.410053253173828 × 131072)
    floor (53746.5)     		ty = 53746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49681 / 53746 ti = "17/49681/53746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49681/53746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49681 ÷ 217
    49681 ÷ 131072     		x = 0.379035949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53746 ÷ 217
    53746 ÷ 131072     		y = 0.410049438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379035949707031 × 2 - 1) × π
    -0.241928100585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76003954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410049438476562 × 2 - 1) × π
    0.179901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.565176046520462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76003954} λ = -0.76003954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565176046520462))-π/2
    2×atan(1.75975755464823)-π/2
    2×1.05404201422327-π/2
    2.10808402844655-1.57079632675     		φ = 0.53728770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76003954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.547058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53728770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.784318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49681 KachelY 53746 -0.76003954 0.53728770 -43.547058 30.784318
    Oben rechts KachelX + 1 49682 KachelY 53746 -0.75999161 0.53728770 -43.544312 30.784318
    Unten links KachelX 49681 KachelY + 1 53747 -0.76003954 0.53724652 -43.547058 30.781958
    Unten rechts KachelX + 1 49682 KachelY + 1 53747 -0.75999161 0.53724652 -43.544312 30.781958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53728770-0.53724652) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dl = 262.357780000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53728770-0.53724652) × R
    4.1180000000085e-05 × 6371000     		dr = 262.357780000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76003954--0.75999161) × cos(0.53728770) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.859100015808611 × 6371000     		do = 262.336524799902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76003954--0.75999161) × cos(0.53724652) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.859121091322915 × 6371000     		du = 262.342960461734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53728770)-sin(0.53724652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859100015808611-0.859121091322915)×R²
    abs(-0.75999161--0.76003954)×2.10755143043029e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.10755143043029e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.10755143043029e-05×40589641000000     		ar = 68826.8724922567m²