Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49680 / 17008
↖ ↑ ↗
← N 65.109148°
E 92.900390°		 ← 257.10 m → N 65.109148°
E 92.905884°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
N 65.106836°
E 92.900390°		 ← 257.12 m →
66 096 m²		 N 65.106836°
E 92.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.758064270019531 y=0.259529113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.758064270019531 × 216)
    floor (0.758064270019531 × 65536)
    floor (49680.5)     		tx = 49680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259529113769531 × 216)
    floor (0.259529113769531 × 65536)
    floor (17008.5)     		ty = 17008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49680 / 17008 ti = "16/49680/17008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49680/17008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49680 ÷ 216
    49680 ÷ 65536     		x = 0.758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17008 ÷ 216
    17008 ÷ 65536     		y = 0.259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.758056640625 × 2 - 1) × π
    0.51611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62141769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259521484375 × 2 - 1) × π
    0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62141769} λ = 1.62141769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51097107602417))-π/2
    2×atan(4.53112872907538)-π/2
    2×1.35358266805156-π/2
    2.70716533610311-1.57079632675     		φ = 1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62141769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.900390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49680 KachelY 17008 1.62141769 1.13636901 92.900390 65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 49681 KachelY 17008 1.62151357 1.13636901 92.905884 65.109148
    Unten links KachelX 49680 KachelY + 1 17009 1.62141769 1.13632866 92.900390 65.106836
    Unten rechts KachelX + 1 49681 KachelY + 1 17009 1.62151357 1.13632866 92.905884 65.106836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13636901-1.13632866) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dl = 257.069849999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13636901-1.13632866) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dr = 257.069849999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62141769-1.62151357) × cos(1.13636901) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 257.101879914227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62141769-1.62151357) × cos(1.13632866) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.420927584643867 × 6371000     		du = 257.124238052958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13636901)-sin(1.13632866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420927584643867)×R²
    abs(1.62151357-1.62141769)×3.66015954181842e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.66015954181842e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.66015954181842e-05×40589641000000     		ar = 66096.0155147556m²