Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49675 / 58383
↖ ↑ ↗
← N 19.272258°
W 43.563537°		 ← 288.25 m → N 19.272258°
W 43.560791°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 19.269666°
W 43.563537°		 ← 288.25 m →
83 100 m²		 N 19.269666°
W 43.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378993988037109 y=0.445430755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378993988037109 × 217)
    floor (0.378993988037109 × 131072)
    floor (49675.5)     		tx = 49675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445430755615234 × 217)
    floor (0.445430755615234 × 131072)
    floor (58383.5)     		ty = 58383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49675 / 58383 ti = "17/49675/58383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49675/58383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49675 ÷ 217
    49675 ÷ 131072     		x = 0.378990173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58383 ÷ 217
    58383 ÷ 131072     		y = 0.445426940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378990173339844 × 2 - 1) × π
    -0.242019653320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76032716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445426940917969 × 2 - 1) × π
    0.109146118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.342892642982262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76032716} λ = -0.76032716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342892642982262))-π/2
    2×atan(1.4090174858911)-π/2
    2×0.953580341441228-π/2
    1.90716068288246-1.57079632675     		φ = 0.33636436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76032716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.563537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33636436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.272258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49675 KachelY 58383 -0.76032716 0.33636436 -43.563537 19.272258
    Oben rechts KachelX + 1 49676 KachelY 58383 -0.76027923 0.33636436 -43.560791 19.272258
    Unten links KachelX 49675 KachelY + 1 58384 -0.76032716 0.33631911 -43.563537 19.269666
    Unten rechts KachelX + 1 49676 KachelY + 1 58384 -0.76027923 0.33631911 -43.560791 19.269666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33636436-0.33631911) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33636436-0.33631911) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76032716--0.76027923) × cos(0.33636436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943960871267728 × 6371000     		do = 288.249807891059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76032716--0.76027923) × cos(0.33631911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943975805397719 × 6371000     		du = 288.254368207309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33636436)-sin(0.33631911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943960871267728-0.943975805397719)×R²
    abs(-0.76027923--0.76032716)×1.49341299909844e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49341299909844e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49341299909844e-05×40589641000000     		ar = 83099.5459107101m²