Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49673 / 53767
↖ ↑ ↗
← N 30.734753°
W 43.569031°		 ← 262.53 m → N 30.734753°
W 43.566284°		 →
↑
262.49 m
↓
↑
262.49 m
↓
N 30.732393°
W 43.569031°		 ← 262.53 m →
68 910 m²		 N 30.732393°
W 43.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378978729248047 y=0.410213470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378978729248047 × 217)
    floor (0.378978729248047 × 131072)
    floor (49673.5)     		tx = 49673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410213470458984 × 217)
    floor (0.410213470458984 × 131072)
    floor (53767.5)     		ty = 53767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49673 / 53767 ti = "17/49673/53767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49673/53767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49673 ÷ 217
    49673 ÷ 131072     		x = 0.378974914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53767 ÷ 217
    53767 ÷ 131072     		y = 0.410209655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378974914550781 × 2 - 1) × π
    -0.242050170898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76042304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410209655761719 × 2 - 1) × π
    0.179580688476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.564169371628441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76042304} λ = -0.76042304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564169371628441))-π/2
    2×atan(1.75798694226696)-π/2
    2×1.05360948565482-π/2
    2.10721897130963-1.57079632675     		φ = 0.53642264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76042304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.569031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53642264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.734753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49673 KachelY 53767 -0.76042304 0.53642264 -43.569031 30.734753
    Oben rechts KachelX + 1 49674 KachelY 53767 -0.76037510 0.53642264 -43.566284 30.734753
    Unten links KachelX 49673 KachelY + 1 53768 -0.76042304 0.53638144 -43.569031 30.732393
    Unten rechts KachelX + 1 49674 KachelY + 1 53768 -0.76037510 0.53638144 -43.566284 30.732393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53642264-0.53638144) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dl = 262.485199999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53642264-0.53638144) × R
    4.11999999999635e-05 × 6371000     		dr = 262.485199999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76042304--0.76037510) × cos(0.53642264) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.859542438712428 × 6371000     		do = 262.526385405584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76042304--0.76037510) × cos(0.53638144) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.859563493835188 × 6371000     		du = 262.532816182033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53642264)-sin(0.53638144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859542438712428-0.859563493835188)×R²
    abs(-0.76037510--0.76042304)×2.10551227596278e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.10551227596278e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.10551227596278e-05×40589641000000     		ar = 68910.1347800149m²