Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49672 / 53735
↖ ↑ ↗
← N 30.810270°
W 43.571778°		 ← 262.32 m → N 30.810270°
W 43.569031°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
N 30.807911°
W 43.571778°		 ← 262.33 m →
68 806 m²		 N 30.807911°
W 43.569031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378971099853516 y=0.409969329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378971099853516 × 217)
    floor (0.378971099853516 × 131072)
    floor (49672.5)     		tx = 49672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409969329833984 × 217)
    floor (0.409969329833984 × 131072)
    floor (53735.5)     		ty = 53735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49672 / 53735 ti = "17/49672/53735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49672/53735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49672 ÷ 217
    49672 ÷ 131072     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53735 ÷ 217
    53735 ÷ 131072     		y = 0.409965515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409965515136719 × 2 - 1) × π
    0.180068969726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.565703352416283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565703352416283))-π/2
    2×atan(1.76068572987664)-π/2
    2×1.05426848790538-π/2
    2.10853697581075-1.57079632675     		φ = 0.53774065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53774065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.810270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49672 KachelY 53735 -0.76047098 0.53774065 -43.571778 30.810270
    Oben rechts KachelX + 1 49673 KachelY 53735 -0.76042304 0.53774065 -43.569031 30.810270
    Unten links KachelX 49672 KachelY + 1 53736 -0.76047098 0.53769948 -43.571778 30.807911
    Unten rechts KachelX + 1 49673 KachelY + 1 53736 -0.76042304 0.53769948 -43.569031 30.807911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53774065-0.53769948) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53774065-0.53769948) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76042304) × cos(0.53774065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858868104372586 × 6371000     		do = 262.320426340222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76042304) × cos(0.53769948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858889190787656 × 6371000     		du = 262.326866674149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53774065)-sin(0.53769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858868104372586-0.858889190787656)×R²
    abs(-0.76042304--0.76047098)×2.10864150703705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10864150703705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10864150703705e-05×40589641000000     		ar = 68805.9369093955m²