Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49662 / 53757
↖ ↑ ↗
← N 30.758359°
W 43.599243°		 ← 262.41 m → N 30.758359°
W 43.596497°		 →
↑
262.42 m
↓
↑
262.42 m
↓
N 30.755999°
W 43.599243°		 ← 262.41 m →
68 862 m²		 N 30.755999°
W 43.596497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378894805908203 y=0.410137176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378894805908203 × 217)
    floor (0.378894805908203 × 131072)
    floor (49662.5)     		tx = 49662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410137176513672 × 217)
    floor (0.410137176513672 × 131072)
    floor (53757.5)     		ty = 53757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49662 / 53757 ti = "17/49662/53757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49662/53757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49662 ÷ 217
    49662 ÷ 131072     		x = 0.378890991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53757 ÷ 217
    53757 ÷ 131072     		y = 0.410133361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378890991210938 × 2 - 1) × π
    -0.242218017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76095034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410133361816406 × 2 - 1) × π
    0.179733276367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.564648740624641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76095034} λ = -0.76095034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564648740624641))-π/2
    2×atan(1.75882986872308)-π/2
    2×1.05381547941238-π/2
    2.10763095882476-1.57079632675     		φ = 0.53683463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76095034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.599243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53683463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.758359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49662 KachelY 53757 -0.76095034 0.53683463 -43.599243 30.758359
    Oben rechts KachelX + 1 49663 KachelY 53757 -0.76090241 0.53683463 -43.596497 30.758359
    Unten links KachelX 49662 KachelY + 1 53758 -0.76095034 0.53679344 -43.599243 30.755999
    Unten rechts KachelX + 1 49663 KachelY + 1 53758 -0.76090241 0.53679344 -43.596497 30.755999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53683463-0.53679344) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dl = 262.421490000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53683463-0.53679344) × R
    4.11900000000243e-05 × 6371000     		dr = 262.421490000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76095034--0.76090241) × cos(0.53683463) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.859331812358719 × 6371000     		do = 262.40730666499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76095034--0.76090241) × cos(0.53679344) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.859352876955903 × 6371000     		du = 262.413738993147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53683463)-sin(0.53679344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859331812358719-0.859352876955903)×R²
    abs(-0.76090241--0.76095034)×2.10645971835399e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.10645971835399e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.10645971835399e-05×40589641000000     		ar = 68862.1604024269m²