Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49657 / 83255
↖ ↑ ↗
← S 43.689722°
W 43.612976°		 ← 220.85 m → S 43.689722°
W 43.610229°		 →
↑
220.82 m
↓
↑
220.82 m
↓
S 43.691708°
W 43.612976°		 ← 220.84 m →
48 767 m²		 S 43.691708°
W 43.610229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378856658935547 y=0.635189056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378856658935547 × 217)
    floor (0.378856658935547 × 131072)
    floor (49657.5)     		tx = 49657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635189056396484 × 217)
    floor (0.635189056396484 × 131072)
    floor (83255.5)     		ty = 83255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49657 / 83255 ti = "17/49657/83255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49657/83255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49657 ÷ 217
    49657 ÷ 131072     		x = 0.378852844238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83255 ÷ 217
    83255 ÷ 131072     		y = 0.635185241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378852844238281 × 2 - 1) × π
    -0.242294311523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76119003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635185241699219 × 2 - 1) × π
    -0.270370483398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.849393924367775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76119003} λ = -0.76119003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849393924367775))-π/2
    2×atan(0.427674056240357)-π/2
    2×0.404133415127153-π/2
    0.808266830254306-1.57079632675     		φ = -0.76252950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76119003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.612976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76252950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.689722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49657 KachelY 83255 -0.76119003 -0.76252950 -43.612976 -43.689722
    Oben rechts KachelX + 1 49658 KachelY 83255 -0.76114209 -0.76252950 -43.610229 -43.689722
    Unten links KachelX 49657 KachelY + 1 83256 -0.76119003 -0.76256416 -43.612976 -43.691708
    Unten rechts KachelX + 1 49658 KachelY + 1 83256 -0.76114209 -0.76256416 -43.610229 -43.691708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76252950--0.76256416) × R
    3.46600000000752e-05 × 6371000     		dl = 220.818860000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76252950--0.76256416) × R
    3.46600000000752e-05 × 6371000     		dr = 220.818860000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76119003--0.76114209) × cos(-0.76252950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723091066920479 × 6371000     		do = 220.850624201432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76119003--0.76114209) × cos(-0.76256416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72306712499716 × 6371000     		du = 220.843311721785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76252950)-sin(-0.76256416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723091066920479-0.72306712499716)×R²
    abs(-0.76114209--0.76119003)×2.394192331856e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.394192331856e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.394192331856e-05×40589641000000     		ar = 48767.1757046373m²