Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49654 / 83373
↖ ↑ ↗
← S 43.923616°
W 43.621216°		 ← 219.99 m → S 43.923616°
W 43.618469°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 43.925594°
W 43.621216°		 ← 219.98 m →
48 394 m²		 S 43.925594°
W 43.618469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378833770751953 y=0.636089324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378833770751953 × 217)
    floor (0.378833770751953 × 131072)
    floor (49654.5)     		tx = 49654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636089324951172 × 217)
    floor (0.636089324951172 × 131072)
    floor (83373.5)     		ty = 83373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49654 / 83373 ti = "17/49654/83373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49654/83373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49654 ÷ 217
    49654 ÷ 131072     		x = 0.378829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83373 ÷ 217
    83373 ÷ 131072     		y = 0.636085510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.242340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76133384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636085510253906 × 2 - 1) × π
    -0.272171020507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.855050478522942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76133384} λ = -0.76133384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855050478522942))-π/2
    2×atan(0.425261723956775)-π/2
    2×0.40209230909972-π/2
    0.80418461819944-1.57079632675     		φ = -0.76661171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76133384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76661171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.923616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49654 KachelY 83373 -0.76133384 -0.76661171 -43.621216 -43.923616
    Oben rechts KachelX + 1 49655 KachelY 83373 -0.76128590 -0.76661171 -43.618469 -43.923616
    Unten links KachelX 49654 KachelY + 1 83374 -0.76133384 -0.76664624 -43.621216 -43.925594
    Unten rechts KachelX + 1 49655 KachelY + 1 83374 -0.76128590 -0.76664624 -43.618469 -43.925594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76661171--0.76664624) × R
    3.45300000000881e-05 × 6371000     		dl = 219.990630000561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76661171--0.76664624) × R
    3.45300000000881e-05 × 6371000     		dr = 219.990630000561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76133384--0.76128590) × cos(-0.76661171) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720265252179386 × 6371000     		do = 219.987547643541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76133384--0.76128590) × cos(-0.76664624) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720241298331892 × 6371000     		du = 219.980231521944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76661171)-sin(-0.76664624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720265252179386-0.720241298331892)×R²
    abs(-0.76128590--0.76133384)×2.39538474940959e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39538474940959e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39538474940959e-05×40589641000000     		ar = 48394.3944642074m²