Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49654 / 83367
↖ ↑ ↗
← S 43.911744°
W 43.621216°		 ← 220.03 m → S 43.911744°
W 43.618469°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
S 43.913723°
W 43.621216°		 ← 220.02 m →
48 418 m²		 S 43.913723°
W 43.618469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378833770751953 y=0.636043548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378833770751953 × 217)
    floor (0.378833770751953 × 131072)
    floor (49654.5)     		tx = 49654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636043548583984 × 217)
    floor (0.636043548583984 × 131072)
    floor (83367.5)     		ty = 83367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49654 / 83367 ti = "17/49654/83367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49654/83367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49654 ÷ 217
    49654 ÷ 131072     		x = 0.378829956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83367 ÷ 217
    83367 ÷ 131072     		y = 0.636039733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.242340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76133384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636039733886719 × 2 - 1) × π
    -0.272079467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.854762857125221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76133384} λ = -0.76133384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854762857125221))-π/2
    2×atan(0.425384055920019)-π/2
    2×0.402195901282547-π/2
    0.804391802565095-1.57079632675     		φ = -0.76640452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76133384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76640452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.911744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49654 KachelY 83367 -0.76133384 -0.76640452 -43.621216 -43.911744
    Oben rechts KachelX + 1 49655 KachelY 83367 -0.76128590 -0.76640452 -43.618469 -43.911744
    Unten links KachelX 49654 KachelY + 1 83368 -0.76133384 -0.76643906 -43.621216 -43.913723
    Unten rechts KachelX + 1 49655 KachelY + 1 83368 -0.76128590 -0.76643906 -43.618469 -43.913723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76640452--0.76643906) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dl = 220.054339999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76640452--0.76643906) × R
    3.45399999999163e-05 × 6371000     		dr = 220.054339999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76133384--0.76128590) × cos(-0.76640452) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720408964164312 × 6371000     		do = 220.031440982884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76133384--0.76128590) × cos(-0.76643906) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.720385008534475 × 6371000     		du = 220.024124316914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76640452)-sin(-0.76643906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720408964164312-0.720385008534475)×R²
    abs(-0.76128590--0.76133384)×2.39556298368138e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39556298368138e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39556298368138e-05×40589641000000     		ar = 48418.0684973538m²