Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49653 / 83247
↖ ↑ ↗
← S 43.673832°
W 43.623963°		 ← 220.91 m → S 43.673832°
W 43.621216°		 →
↑
220.88 m
↓
↑
220.88 m
↓
S 43.675818°
W 43.623963°		 ← 220.90 m →
48 794 m²		 S 43.675818°
W 43.621216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378826141357422 y=0.635128021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378826141357422 × 217)
    floor (0.378826141357422 × 131072)
    floor (49653.5)     		tx = 49653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635128021240234 × 217)
    floor (0.635128021240234 × 131072)
    floor (83247.5)     		ty = 83247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49653 / 83247 ti = "17/49653/83247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49653/83247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49653 ÷ 217
    49653 ÷ 131072     		x = 0.378822326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83247 ÷ 217
    83247 ÷ 131072     		y = 0.635124206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378822326660156 × 2 - 1) × π
    -0.242355346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76138178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635124206542969 × 2 - 1) × π
    -0.270248413085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.849010429170814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76138178} λ = -0.76138178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849010429170814))-π/2
    2×atan(0.427838098639516)-π/2
    2×0.404272084467365-π/2
    0.808544168934731-1.57079632675     		φ = -0.76225216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76138178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.623963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76225216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.673832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49653 KachelY 83247 -0.76138178 -0.76225216 -43.623963 -43.673832
    Oben rechts KachelX + 1 49654 KachelY 83247 -0.76133384 -0.76225216 -43.621216 -43.673832
    Unten links KachelX 49653 KachelY + 1 83248 -0.76138178 -0.76228683 -43.623963 -43.675818
    Unten rechts KachelX + 1 49654 KachelY + 1 83248 -0.76133384 -0.76228683 -43.621216 -43.675818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76225216--0.76228683) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dl = 220.882570000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76225216--0.76228683) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dr = 220.882570000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(-0.76225216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72328261246596 × 6371000     		do = 220.909127141404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(-0.76228683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.723258670588463 × 6371000     		du = 220.901814675753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76225216)-sin(-0.76228683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72328261246596-0.723258670588463)×R²
    abs(-0.76133384--0.76138178)×2.39418774966582e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39418774966582e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39418774966582e-05×40589641000000     		ar = 48794.1681462304m²