Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49653 / 80383
↖ ↑ ↗
← S 37.716418°
W 43.623963°		 ← 241.61 m → S 37.716418°
W 43.621216°		 →
↑
241.59 m
↓
↑
241.59 m
↓
S 37.718590°
W 43.623963°		 ← 241.60 m →
58 368 m²		 S 37.718590°
W 43.621216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378826141357422 y=0.613277435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378826141357422 × 217)
    floor (0.378826141357422 × 131072)
    floor (49653.5)     		tx = 49653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613277435302734 × 217)
    floor (0.613277435302734 × 131072)
    floor (80383.5)     		ty = 80383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49653 / 80383 ti = "17/49653/80383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49653/80383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49653 ÷ 217
    49653 ÷ 131072     		x = 0.378822326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80383 ÷ 217
    80383 ÷ 131072     		y = 0.613273620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378822326660156 × 2 - 1) × π
    -0.242355346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76138178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613273620605469 × 2 - 1) × π
    -0.226547241210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.711719148658974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76138178} λ = -0.76138178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711719148658974))-π/2
    2×atan(0.490799714102412)-π/2
    2×0.456260328132091-π/2
    0.912520656264182-1.57079632675     		φ = -0.65827567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76138178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.623963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65827567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.716418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49653 KachelY 80383 -0.76138178 -0.65827567 -43.623963 -37.716418
    Oben rechts KachelX + 1 49654 KachelY 80383 -0.76133384 -0.65827567 -43.621216 -37.716418
    Unten links KachelX 49653 KachelY + 1 80384 -0.76138178 -0.65831359 -43.623963 -37.718590
    Unten rechts KachelX + 1 49654 KachelY + 1 80384 -0.76133384 -0.65831359 -43.621216 -37.718590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65827567--0.65831359) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dl = 241.588320000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65827567--0.65831359) × R
    3.79200000000246e-05 × 6371000     		dr = 241.588320000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(-0.65827567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791048272307653 × 6371000     		do = 241.606503945128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(-0.65831359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.791025074037336 × 6371000     		du = 241.59941859625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65827567)-sin(-0.65831359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791048272307653-0.791025074037336)×R²
    abs(-0.76133384--0.76138178)×2.31982703166045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31982703166045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31982703166045e-05×40589641000000     		ar = 58368.4535275197m²