Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49653 / 53783
↖ ↑ ↗
← N 30.696973°
W 43.623963°		 ← 262.63 m → N 30.696973°
W 43.621216°		 →
↑
262.61 m
↓
↑
262.61 m
↓
N 30.694611°
W 43.623963°		 ← 262.64 m →
68 971 m²		 N 30.694611°
W 43.621216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378826141357422 y=0.410335540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378826141357422 × 217)
    floor (0.378826141357422 × 131072)
    floor (49653.5)     		tx = 49653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410335540771484 × 217)
    floor (0.410335540771484 × 131072)
    floor (53783.5)     		ty = 53783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49653 / 53783 ti = "17/49653/53783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49653/53783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49653 ÷ 217
    49653 ÷ 131072     		x = 0.378822326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53783 ÷ 217
    53783 ÷ 131072     		y = 0.410331726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378822326660156 × 2 - 1) × π
    -0.242355346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76138178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410331726074219 × 2 - 1) × π
    0.179336547851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.56340238123452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76138178} λ = -0.76138178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.56340238123452))-π/2
    2×atan(1.75663910012667)-π/2
    2×1.05327979066982-π/2
    2.10655958133963-1.57079632675     		φ = 0.53576325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76138178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.623963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53576325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.696973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49653 KachelY 53783 -0.76138178 0.53576325 -43.623963 30.696973
    Oben rechts KachelX + 1 49654 KachelY 53783 -0.76133384 0.53576325 -43.621216 30.696973
    Unten links KachelX 49653 KachelY + 1 53784 -0.76138178 0.53572203 -43.623963 30.694611
    Unten rechts KachelX + 1 49654 KachelY + 1 53784 -0.76133384 0.53572203 -43.621216 30.694611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53576325-0.53572203) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dl = 262.612620000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53576325-0.53572203) × R
    4.1220000000064e-05 × 6371000     		dr = 262.612620000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(0.53576325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859879242564219 × 6371000     		do = 262.629253970644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76138178--0.76133384) × cos(0.53572203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.859900284540282 × 6371000     		du = 262.635680731754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53576325)-sin(0.53572203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859879242564219-0.859900284540282)×R²
    abs(-0.76133384--0.76138178)×2.10419760632297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10419760632297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10419760632297e-05×40589641000000     		ar = 68970.6003579382m²