Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49649 / 83371
↖ ↑ ↗
← S 43.919659°
W 43.634948°		 ← 219.96 m → S 43.919659°
W 43.632202°		 →
↑
219.99 m
↓
↑
219.99 m
↓
S 43.921637°
W 43.634948°		 ← 219.95 m →
48 388 m²		 S 43.921637°
W 43.632202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378795623779297 y=0.636074066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378795623779297 × 217)
    floor (0.378795623779297 × 131072)
    floor (49649.5)     		tx = 49649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636074066162109 × 217)
    floor (0.636074066162109 × 131072)
    floor (83371.5)     		ty = 83371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49649 / 83371 ti = "17/49649/83371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49649/83371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49649 ÷ 217
    49649 ÷ 131072     		x = 0.378791809082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83371 ÷ 217
    83371 ÷ 131072     		y = 0.636070251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378791809082031 × 2 - 1) × π
    -0.242416381835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76157352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636070251464844 × 2 - 1) × π
    -0.272140502929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.854954604723701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76157352} λ = -0.76157352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.854954604723701))-π/2
    2×atan(0.425302497368442)-π/2
    2×0.402126837531021-π/2
    0.804253675062041-1.57079632675     		φ = -0.76654265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76157352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.634948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76654265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.919659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49649 KachelY 83371 -0.76157352 -0.76654265 -43.634948 -43.919659
    Oben rechts KachelX + 1 49650 KachelY 83371 -0.76152559 -0.76654265 -43.632202 -43.919659
    Unten links KachelX 49649 KachelY + 1 83372 -0.76157352 -0.76657718 -43.634948 -43.921637
    Unten rechts KachelX + 1 49650 KachelY + 1 83372 -0.76152559 -0.76657718 -43.632202 -43.921637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76654265--0.76657718) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dl = 219.990629999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76654265--0.76657718) × R
    3.45299999999771e-05 × 6371000     		dr = 219.990629999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76157352--0.76152559) × cos(-0.76654265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720313157297983 × 6371000     		do = 219.956287948356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76157352--0.76152559) × cos(-0.76657718) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.720289205168093 × 6371000     		du = 219.94897387735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76654265)-sin(-0.76657718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720313157297983-0.720289205168093)×R²
    abs(-0.76152559--0.76157352)×2.39521298908141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39521298908141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39521298908141e-05×40589641000000     		ar = 48387.5178493883m²