Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49649 / 16979
↖ ↑ ↗
← N 65.176112°
E 92.730102°		 ← 256.45 m → N 65.176112°
E 92.735596°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
N 65.173806°
E 92.730102°		 ← 256.48 m →
65 766 m²		 N 65.173806°
E 92.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757591247558594 y=0.259086608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757591247558594 × 216)
    floor (0.757591247558594 × 65536)
    floor (49649.5)     		tx = 49649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259086608886719 × 216)
    floor (0.259086608886719 × 65536)
    floor (16979.5)     		ty = 16979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49649 / 16979 ti = "16/49649/16979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49649/16979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49649 ÷ 216
    49649 ÷ 65536     		x = 0.757583618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16979 ÷ 216
    16979 ÷ 65536     		y = 0.259078979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757583618164062 × 2 - 1) × π
    0.515167236328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61844560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259078979492188 × 2 - 1) × π
    0.481842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51375141620213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61844560} λ = 1.61844560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51375141620213))-π/2
    2×atan(4.54374433804774)-π/2
    2×1.35416704074803-π/2
    2.70833408149607-1.57079632675     		φ = 1.13753775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61844560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.730102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13753775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.176112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49649 KachelY 16979 1.61844560 1.13753775 92.730102 65.176112
    Oben rechts KachelX + 1 49650 KachelY 16979 1.61854148 1.13753775 92.735596 65.176112
    Unten links KachelX 49649 KachelY + 1 16980 1.61844560 1.13749750 92.730102 65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 49650 KachelY + 1 16980 1.61854148 1.13749750 92.735596 65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13753775-1.13749750) × R
    4.02499999998529e-05 × 6371000     		dl = 256.432749999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13753775-1.13749750) × R
    4.02499999998529e-05 × 6371000     		dr = 256.432749999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61844560-1.61854148) × cos(1.13753775) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419830518654264 × 6371000     		do = 256.454093668957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61844560-1.61854148) × cos(1.13749750) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 256.476408477522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13753775)-sin(1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419830518654264-0.419867049315637)×R²
    abs(1.61854148-1.61844560)×3.65306613729355e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65306613729355e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65306613729355e-05×40589641000000     		ar = 65766.0896207582m²