Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49646 / 83418
↖ ↑ ↗
← S 44.012571°
W 43.643188°		 ← 219.61 m → S 44.012571°
W 43.640442°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.014546°
W 43.643188°		 ← 219.61 m →
48 242 m²		 S 44.014546°
W 43.640442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378772735595703 y=0.636432647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378772735595703 × 217)
    floor (0.378772735595703 × 131072)
    floor (49646.5)     		tx = 49646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636432647705078 × 217)
    floor (0.636432647705078 × 131072)
    floor (83418.5)     		ty = 83418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49646 / 83418 ti = "17/49646/83418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49646/83418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49646 ÷ 217
    49646 ÷ 131072     		x = 0.378768920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83418 ÷ 217
    83418 ÷ 131072     		y = 0.636428833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378768920898438 × 2 - 1) × π
    -0.242462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76171733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636428833007812 × 2 - 1) × π
    -0.272857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.857207639005844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76171733} λ = -0.76171733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857207639005844))-π/2
    2×atan(0.424345354903867)-π/2
    2×0.401316026508361-π/2
    0.802632053016722-1.57079632675     		φ = -0.76816427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76171733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.643188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76816427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.012571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49646 KachelY 83418 -0.76171733 -0.76816427 -43.643188 -44.012571
    Oben rechts KachelX + 1 49647 KachelY 83418 -0.76166940 -0.76816427 -43.640442 -44.012571
    Unten links KachelX 49646 KachelY + 1 83419 -0.76171733 -0.76819875 -43.643188 -44.014546
    Unten rechts KachelX + 1 49647 KachelY + 1 83419 -0.76166940 -0.76819875 -43.640442 -44.014546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76816427--0.76819875) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dl = 219.672080000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76816427--0.76819875) × R
    3.44800000000589e-05 × 6371000     		dr = 219.672080000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76171733--0.76166940) × cos(-0.76816427) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.7191873755899 × 6371000     		do = 219.61251696013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76171733--0.76166940) × cos(-0.76819875) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.719163417900637 × 6371000     		du = 219.605201191503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76816427)-sin(-0.76819875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7191873755899-0.719163417900637)×R²
    abs(-0.76166940--0.76171733)×2.39576892629989e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39576892629989e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39576892629989e-05×40589641000000     		ar = 48241.9348643689m²