Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49646 / 16977
↖ ↑ ↗
← N 65.180724°
E 92.713623°		 ← 256.41 m → N 65.180724°
E 92.719116°		 →
↑
256.43 m
↓
↑
256.43 m
↓
N 65.178418°
E 92.713623°		 ← 256.43 m →
65 755 m²		 N 65.178418°
E 92.719116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.757545471191406 y=0.259056091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.757545471191406 × 216)
    floor (0.757545471191406 × 65536)
    floor (49646.5)     		tx = 49646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259056091308594 × 216)
    floor (0.259056091308594 × 65536)
    floor (16977.5)     		ty = 16977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49646 / 16977 ti = "16/49646/16977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49646/16977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49646 ÷ 216
    49646 ÷ 65536     		x = 0.757537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16977 ÷ 216
    16977 ÷ 65536     		y = 0.259048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757537841796875 × 2 - 1) × π
    0.51507568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.61815798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259048461914062 × 2 - 1) × π
    0.481903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51394316380061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61815798} λ = 1.61815798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51394316380061))-π/2
    2×atan(4.54461567364826)-π/2
    2×1.35420728799221-π/2
    2.70841457598443-1.57079632675     		φ = 1.13761825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61815798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.713623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13761825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.180724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49646 KachelY 16977 1.61815798 1.13761825 92.713623 65.180724
    Oben rechts KachelX + 1 49647 KachelY 16977 1.61825386 1.13761825 92.719116 65.180724
    Unten links KachelX 49646 KachelY + 1 16978 1.61815798 1.13757800 92.713623 65.178418
    Unten rechts KachelX + 1 49647 KachelY + 1 16978 1.61825386 1.13757800 92.719116 65.178418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13761825-1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dl = 256.432750000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13761825-1.13757800) × R
    4.02500000000749e-05 × 6371000     		dr = 256.432750000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61815798-1.61825386) × cos(1.13761825) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419757455291122 × 6371000     		do = 256.409462805447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61815798-1.61825386) × cos(1.13757800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		du = 256.43177844492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13761825)-sin(1.13757800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419757455291122-0.419793987312739)×R²
    abs(1.61825386-1.61815798)×3.65320216172971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65320216172971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65320216172971e-05×40589641000000     		ar = 65754.6449127903m²