Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49644 / 83420
↖ ↑ ↗
← S 44.016521°
W 43.648682°		 ← 219.64 m → S 44.016521°
W 43.645935°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.018497°
W 43.648682°		 ← 219.64 m →
48 249 m²		 S 44.018497°
W 43.645935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378757476806641 y=0.636447906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378757476806641 × 217)
    floor (0.378757476806641 × 131072)
    floor (49644.5)     		tx = 49644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636447906494141 × 217)
    floor (0.636447906494141 × 131072)
    floor (83420.5)     		ty = 83420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49644 / 83420 ti = "17/49644/83420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49644/83420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49644 ÷ 217
    49644 ÷ 131072     		x = 0.378753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83420 ÷ 217
    83420 ÷ 131072     		y = 0.636444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76181321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.27288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.857303512805084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76181321} λ = -0.76181321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857303512805084))-π/2
    2×atan(0.424304673252686)-π/2
    2×0.401281552043748-π/2
    0.802563104087496-1.57079632675     		φ = -0.76823322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76181321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76823322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.016521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49644 KachelY 83420 -0.76181321 -0.76823322 -43.648682 -44.016521
    Oben rechts KachelX + 1 49645 KachelY 83420 -0.76176527 -0.76823322 -43.645935 -44.016521
    Unten links KachelX 49644 KachelY + 1 83421 -0.76181321 -0.76826770 -43.648682 -44.018497
    Unten rechts KachelX + 1 49645 KachelY + 1 83421 -0.76176527 -0.76826770 -43.645935 -44.018497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76823322--0.76826770) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dl = 219.672079999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76823322--0.76826770) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dr = 219.672079999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76181321--0.76176527) × cos(-0.76823322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71913946630504 × 6371000     		do = 219.643703659278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76181321--0.76176527) × cos(-0.76826770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.719115506906069 × 6371000     		du = 219.636385842117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76823322)-sin(-0.76826770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71913946630504-0.719115506906069)×R²
    abs(-0.76176527--0.76181321)×2.39593989707076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39593989707076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39593989707076e-05×40589641000000     		ar = 48248.7854862871m²