Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49634 / 82785
↖ ↑ ↗
← S 42.749029°
W 43.676148°		 ← 224.28 m → S 42.749029°
W 43.673401°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.751046°
W 43.676148°		 ← 224.28 m →
50 297 m²		 S 42.751046°
W 43.673401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378681182861328 y=0.631603240966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378681182861328 × 217)
    floor (0.378681182861328 × 131072)
    floor (49634.5)     		tx = 49634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631603240966797 × 217)
    floor (0.631603240966797 × 131072)
    floor (82785.5)     		ty = 82785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49634 / 82785 ti = "17/49634/82785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49634/82785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49634 ÷ 217
    49634 ÷ 131072     		x = 0.378677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82785 ÷ 217
    82785 ÷ 131072     		y = 0.631599426269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.242645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76229258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631599426269531 × 2 - 1) × π
    -0.263198852539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.826863581546349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76229258} λ = -0.76229258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826863581546349))-π/2
    2×atan(0.437419066328611)-π/2
    2×0.412342508365816-π/2
    0.824685016731632-1.57079632675     		φ = -0.74611131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76229258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.676148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74611131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.749029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49634 KachelY 82785 -0.76229258 -0.74611131 -43.676148 -42.749029
    Oben rechts KachelX + 1 49635 KachelY 82785 -0.76224464 -0.74611131 -43.673401 -42.749029
    Unten links KachelX 49634 KachelY + 1 82786 -0.76229258 -0.74614651 -43.676148 -42.751046
    Unten rechts KachelX + 1 49635 KachelY + 1 82786 -0.76224464 -0.74614651 -43.673401 -42.751046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74611131--0.74614651) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74611131--0.74614651) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76229258--0.76224464) × cos(-0.74611131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73433401176337 × 6371000     		do = 224.284508949849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76229258--0.76224464) × cos(-0.74614651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734310117960204 × 6371000     		du = 224.277211167335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74611131)-sin(-0.74614651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73433401176337-0.734310117960204)×R²
    abs(-0.76224464--0.76229258)×2.38938031661418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38938031661418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38938031661418e-05×40589641000000     		ar = 50297.046257069m²