Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49633 / 83167
↖ ↑ ↗
← S 43.514697°
W 43.678894°		 ← 221.45 m → S 43.514697°
W 43.676148°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 43.516688°
W 43.678894°		 ← 221.44 m →
49 040 m²		 S 43.516688°
W 43.676148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378673553466797 y=0.634517669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378673553466797 × 217)
    floor (0.378673553466797 × 131072)
    floor (49633.5)     		tx = 49633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634517669677734 × 217)
    floor (0.634517669677734 × 131072)
    floor (83167.5)     		ty = 83167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49633 / 83167 ti = "17/49633/83167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49633/83167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49633 ÷ 217
    49633 ÷ 131072     		x = 0.378669738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83167 ÷ 217
    83167 ÷ 131072     		y = 0.634513854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378669738769531 × 2 - 1) × π
    -0.242660522460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76234051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634513854980469 × 2 - 1) × π
    -0.269027709960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.84517547720121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76234051} λ = -0.76234051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84517547720121))-π/2
    2×atan(0.429481987300893)-π/2
    2×0.40566079773537-π/2
    0.81132159547074-1.57079632675     		φ = -0.75947473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76234051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.678894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75947473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.514697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49633 KachelY 83167 -0.76234051 -0.75947473 -43.678894 -43.514697
    Oben rechts KachelX + 1 49634 KachelY 83167 -0.76229258 -0.75947473 -43.676148 -43.514697
    Unten links KachelX 49633 KachelY + 1 83168 -0.76234051 -0.75950949 -43.678894 -43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 49634 KachelY + 1 83168 -0.76229258 -0.75950949 -43.676148 -43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75947473--0.75950949) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75947473--0.75950949) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76234051--0.76229258) × cos(-0.75947473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725197780497505 × 6371000     		do = 221.447866404348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76234051--0.76229258) × cos(-0.75950949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 221.440557835962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75947473)-sin(-0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725197780497505-0.725173846387604)×R²
    abs(-0.76229258--0.76234051)×2.39341099019796e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39341099019796e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39341099019796e-05×40589641000000     		ar = 49040.1405864405m²