Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49632 / 83169
↖ ↑ ↗
← S 43.518680°
W 43.681641°		 ← 221.48 m → S 43.518680°
W 43.678894°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 43.520672°
W 43.681641°		 ← 221.47 m →
49 047 m²		 S 43.520672°
W 43.678894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378665924072266 y=0.634532928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378665924072266 × 217)
    floor (0.378665924072266 × 131072)
    floor (49632.5)     		tx = 49632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634532928466797 × 217)
    floor (0.634532928466797 × 131072)
    floor (83169.5)     		ty = 83169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49632 / 83169 ti = "17/49632/83169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49632/83169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49632 ÷ 217
    49632 ÷ 131072     		x = 0.378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83169 ÷ 217
    83169 ÷ 131072     		y = 0.634529113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634529113769531 × 2 - 1) × π
    -0.269058227539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.84527135100045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76238845} λ = -0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84527135100045))-π/2
    2×atan(0.429440813204855)-π/2
    2×0.405626035149637-π/2
    0.811252070299274-1.57079632675     		φ = -0.75954426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75954426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.518680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49632 KachelY 83169 -0.76238845 -0.75954426 -43.681641 -43.518680
    Oben rechts KachelX + 1 49633 KachelY 83169 -0.76234051 -0.75954426 -43.678894 -43.518680
    Unten links KachelX 49632 KachelY + 1 83170 -0.76238845 -0.75957902 -43.681641 -43.520672
    Unten rechts KachelX + 1 49633 KachelY + 1 83170 -0.76234051 -0.75957902 -43.678894 -43.520672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75954426--0.75957902) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dl = 221.455960000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75954426--0.75957902) × R
    3.47600000000226e-05 × 6371000     		dr = 221.455960000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76238845--0.76234051) × cos(-0.75954426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725149904515594 × 6371000     		do = 221.47944619746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76238845--0.76234051) × cos(-0.75957902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.725125968653076 × 6371000     		du = 221.472135568937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75954426)-sin(-0.75957902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725149904515594-0.725125968653076)×R²
    abs(-0.76234051--0.76238845)×2.39358625188091e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39358625188091e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39358625188091e-05×40589641000000     		ar = 49047.1338917964m²