Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49624 / 82776
↖ ↑ ↗
← S 42.730874°
W 43.703613°		 ← 224.35 m → S 42.730874°
W 43.700867°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.732892°
W 43.703613°		 ← 224.34 m →
50 326 m²		 S 42.732892°
W 43.700867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378604888916016 y=0.631534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378604888916016 × 217)
    floor (0.378604888916016 × 131072)
    floor (49624.5)     		tx = 49624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631534576416016 × 217)
    floor (0.631534576416016 × 131072)
    floor (82776.5)     		ty = 82776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49624 / 82776 ti = "17/49624/82776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49624/82776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49624 ÷ 217
    49624 ÷ 131072     		x = 0.37860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82776 ÷ 217
    82776 ÷ 131072     		y = 0.63153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76277195} λ = -0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826432149449768))-π/2
    2×atan(0.437607823668541)-π/2
    2×0.412500939191484-π/2
    0.825001878382968-1.57079632675     		φ = -0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49624 KachelY 82776 -0.76277195 -0.74579445 -43.703613 -42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 49625 KachelY 82776 -0.76272401 -0.74579445 -43.700867 -42.730874
    Unten links KachelX 49624 KachelY + 1 82777 -0.76277195 -0.74582966 -43.703613 -42.732892
    Unten rechts KachelX + 1 49625 KachelY + 1 82777 -0.76272401 -0.74582966 -43.700867 -42.732892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74579445--0.74582966) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74579445--0.74582966) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76277195--0.76272401) × cos(-0.74579445) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 224.350188920899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76277195--0.76272401) × cos(-0.74582966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734525163359994 × 6371000     		du = 224.3428915677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74579445)-sin(-0.74582966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734525163359994)×R²
    abs(-0.76272401--0.76277195)×2.38923975407479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38923975407479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38923975407479e-05×40589641000000     		ar = 50326.0687609756m²