Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49624 / 58407
↖ ↑ ↗
← N 19.210022°
W 43.703613°		 ← 288.42 m → N 19.210022°
W 43.700867°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.207429°
W 43.703613°		 ← 288.42 m →
83 185 m²		 N 19.207429°
W 43.700867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378604888916016 y=0.445613861083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378604888916016 × 217)
    floor (0.378604888916016 × 131072)
    floor (49624.5)     		tx = 49624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445613861083984 × 217)
    floor (0.445613861083984 × 131072)
    floor (58407.5)     		ty = 58407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49624 / 58407 ti = "17/49624/58407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49624/58407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49624 ÷ 217
    49624 ÷ 131072     		x = 0.37860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58407 ÷ 217
    58407 ÷ 131072     		y = 0.445610046386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76277195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445610046386719 × 2 - 1) × π
    0.108779907226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.34174215739138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76277195} λ = -0.76277195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34174215739138))-π/2
    2×atan(1.40739736371859)-π/2
    2×0.953037231746901-π/2
    1.9060744634938-1.57079632675     		φ = 0.33527814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76277195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33527814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.210022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49624 KachelY 58407 -0.76277195 0.33527814 -43.703613 19.210022
    Oben rechts KachelX + 1 49625 KachelY 58407 -0.76272401 0.33527814 -43.700867 19.210022
    Unten links KachelX 49624 KachelY + 1 58408 -0.76277195 0.33523287 -43.703613 19.207429
    Unten rechts KachelX + 1 49625 KachelY + 1 58408 -0.76272401 0.33523287 -43.700867 19.207429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33527814-0.33523287) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33527814-0.33523287) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76277195--0.76272401) × cos(0.33527814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944318829246245 × 6371000     		do = 288.419277218279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76277195--0.76272401) × cos(0.33523287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944333723549799 × 6371000     		du = 288.423826321964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33527814)-sin(0.33523287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944318829246245-0.944333723549799)×R²
    abs(-0.76272401--0.76277195)×1.48943035543914e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48943035543914e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48943035543914e-05×40589641000000     		ar = 83185.1508996761m²