Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49622 / 83334
↖ ↑ ↗
← S 43.846413°
W 43.709106°		 ← 220.27 m → S 43.846413°
W 43.706360°		 →
↑
220.25 m
↓
↑
220.25 m
↓
S 43.848394°
W 43.709106°		 ← 220.27 m →
48 513 m²		 S 43.848394°
W 43.706360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378589630126953 y=0.635791778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378589630126953 × 217)
    floor (0.378589630126953 × 131072)
    floor (49622.5)     		tx = 49622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635791778564453 × 217)
    floor (0.635791778564453 × 131072)
    floor (83334.5)     		ty = 83334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49622 / 83334 ti = "17/49622/83334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49622/83334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49622 ÷ 217
    49622 ÷ 131072     		x = 0.378585815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83334 ÷ 217
    83334 ÷ 131072     		y = 0.635787963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378585815429688 × 2 - 1) × π
    -0.242828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76286782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635787963867188 × 2 - 1) × π
    -0.271575927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.853180939437759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76286782} λ = -0.76286782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.853180939437759))-π/2
    2×atan(0.426057511016866)-π/2
    2×0.402766027694649-π/2
    0.805532055389299-1.57079632675     		φ = -0.76526427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76286782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.709106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76526427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.846413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49622 KachelY 83334 -0.76286782 -0.76526427 -43.709106 -43.846413
    Oben rechts KachelX + 1 49623 KachelY 83334 -0.76281988 -0.76526427 -43.706360 -43.846413
    Unten links KachelX 49622 KachelY + 1 83335 -0.76286782 -0.76529884 -43.709106 -43.848394
    Unten rechts KachelX + 1 49623 KachelY + 1 83335 -0.76281988 -0.76529884 -43.706360 -43.848394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76526427--0.76529884) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dl = 220.245470000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76526427--0.76529884) × R
    3.4570000000067e-05 × 6371000     		dr = 220.245470000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76286782--0.76281988) × cos(-0.76526427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721199315495948 × 6371000     		do = 220.272834622699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76286782--0.76281988) × cos(-0.76529884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.721175367471386 × 6371000     		du = 220.265520279575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76526427)-sin(-0.76529884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721199315495948-0.721175367471386)×R²
    abs(-0.76281988--0.76286782)×2.39480245617374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39480245617374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39480245617374e-05×40589641000000     		ar = 48513.2885193218m²