Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49618 / 80557
↖ ↑ ↗
← S 38.093498°
W 43.720093°		 ← 240.37 m → S 38.093498°
W 43.717346°		 →
↑
240.31 m
↓
↑
240.31 m
↓
S 38.095660°
W 43.720093°		 ← 240.36 m →
57 764 m²		 S 38.095660°
W 43.717346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378559112548828 y=0.614604949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378559112548828 × 217)
    floor (0.378559112548828 × 131072)
    floor (49618.5)     		tx = 49618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614604949951172 × 217)
    floor (0.614604949951172 × 131072)
    floor (80557.5)     		ty = 80557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49618 / 80557 ti = "17/49618/80557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49618/80557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49618 ÷ 217
    49618 ÷ 131072     		x = 0.378555297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80557 ÷ 217
    80557 ÷ 131072     		y = 0.614601135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378555297851562 × 2 - 1) × π
    -0.242889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76305957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614601135253906 × 2 - 1) × π
    -0.229202270507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.720060169192864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76305957} λ = -0.76305957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720060169192864))-π/2
    2×atan(0.486722969350691)-π/2
    2×0.452969679692628-π/2
    0.905939359385255-1.57079632675     		φ = -0.66485697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76305957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.720093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66485697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.093498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49618 KachelY 80557 -0.76305957 -0.66485697 -43.720093 -38.093498
    Oben rechts KachelX + 1 49619 KachelY 80557 -0.76301163 -0.66485697 -43.717346 -38.093498
    Unten links KachelX 49618 KachelY + 1 80558 -0.76305957 -0.66489469 -43.720093 -38.095660
    Unten rechts KachelX + 1 49619 KachelY + 1 80558 -0.76301163 -0.66489469 -43.717346 -38.095660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66485697--0.66489469) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dl = 240.31412000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66485697--0.66489469) × R
    3.77200000000188e-05 × 6371000     		dr = 240.31412000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76305957--0.76301163) × cos(-0.66485697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787005035046675 × 6371000     		do = 240.371595212699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76305957--0.76301163) × cos(-0.66489469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786981763262045 × 6371000     		du = 240.364487410657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66485697)-sin(-0.66489469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787005035046675-0.786981763262045)×R²
    abs(-0.76301163--0.76305957)×2.32717846295749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32717846295749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32717846295749e-05×40589641000000     		ar = 57763.8343306511m²