Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49609 / 82776
↖ ↑ ↗
← S 42.730874°
W 43.744812°		 ← 224.35 m → S 42.730874°
W 43.742065°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.732892°
W 43.744812°		 ← 224.34 m →
50 326 m²		 S 42.732892°
W 43.742065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378490447998047 y=0.631534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378490447998047 × 217)
    floor (0.378490447998047 × 131072)
    floor (49609.5)     		tx = 49609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631534576416016 × 217)
    floor (0.631534576416016 × 131072)
    floor (82776.5)     		ty = 82776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49609 / 82776 ti = "17/49609/82776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49609/82776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49609 ÷ 217
    49609 ÷ 131072     		x = 0.378486633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82776 ÷ 217
    82776 ÷ 131072     		y = 0.63153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378486633300781 × 2 - 1) × π
    -0.243026733398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76349100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76349100} λ = -0.76349100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826432149449768))-π/2
    2×atan(0.437607823668541)-π/2
    2×0.412500939191484-π/2
    0.825001878382968-1.57079632675     		φ = -0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76349100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.744812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49609 KachelY 82776 -0.76349100 -0.74579445 -43.744812 -42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 49610 KachelY 82776 -0.76344306 -0.74579445 -43.742065 -42.730874
    Unten links KachelX 49609 KachelY + 1 82777 -0.76349100 -0.74582966 -43.744812 -42.732892
    Unten rechts KachelX + 1 49610 KachelY + 1 82777 -0.76344306 -0.74582966 -43.742065 -42.732892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74579445--0.74582966) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74579445--0.74582966) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76349100--0.76344306) × cos(-0.74579445) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 224.350188921419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76349100--0.76344306) × cos(-0.74582966) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734525163359994 × 6371000     		du = 224.34289156822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74579445)-sin(-0.74582966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734525163359994)×R²
    abs(-0.76344306--0.76349100)×2.38923975407479e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38923975407479e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38923975407479e-05×40589641000000     		ar = 50326.0687610921m²