Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49608 / 51400
↖ ↑ ↗
← S 70.974028°
E 92.504883°		 ← 199.11 m → S 70.974028°
E 92.510376°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
S 70.975819°
E 92.504883°		 ← 199.10 m →
39 641 m²		 S 70.975819°
E 92.510376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756965637207031 y=0.784309387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756965637207031 × 216)
    floor (0.756965637207031 × 65536)
    floor (49608.5)     		tx = 49608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784309387207031 × 216)
    floor (0.784309387207031 × 65536)
    floor (51400.5)     		ty = 51400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49608 / 51400 ti = "16/49608/51400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49608/51400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49608 ÷ 216
    49608 ÷ 65536     		x = 0.7569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51400 ÷ 216
    51400 ÷ 65536     		y = 0.7843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7569580078125 × 2 - 1) × π
    0.513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61451478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7843017578125 × 2 - 1) × π
    -0.568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78632062744177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61451478} λ = 1.61451478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78632062744177))-π/2
    2×atan(0.167575609856194)-π/2
    2×0.166032924006928-π/2
    0.332065848013856-1.57079632675     		φ = -1.23873048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61451478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.504883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23873048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.974028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49608 KachelY 51400 1.61451478 -1.23873048 92.504883 -70.974028
    Oben rechts KachelX + 1 49609 KachelY 51400 1.61461065 -1.23873048 92.510376 -70.974028
    Unten links KachelX 49608 KachelY + 1 51401 1.61451478 -1.23876173 92.504883 -70.975819
    Unten rechts KachelX + 1 49609 KachelY + 1 51401 1.61461065 -1.23876173 92.510376 -70.975819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23873048--1.23876173) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23873048--1.23876173) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61451478-1.61461065) × cos(-1.23873048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325996714085265 × 6371000     		do = 199.114806023462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61451478-1.61461065) × cos(-1.23876173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325967171085404 × 6371000     		du = 199.096761520458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23873048)-sin(-1.23876173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325996714085265-0.325967171085404)×R²
    abs(1.61461065-1.61451478)×2.95429998616314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95429998616314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95429998616314e-05×40589641000000     		ar = 39640.7171407426m²