Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49606 / 80466
↖ ↑ ↗
← S 37.896530°
W 43.753052°		 ← 241.02 m → S 37.896530°
W 43.750305°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 37.898698°
W 43.753052°		 ← 241.01 m →
58 088 m²		 S 37.898698°
W 43.750305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378467559814453 y=0.613910675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378467559814453 × 217)
    floor (0.378467559814453 × 131072)
    floor (49606.5)     		tx = 49606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613910675048828 × 217)
    floor (0.613910675048828 × 131072)
    floor (80466.5)     		ty = 80466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49606 / 80466 ti = "17/49606/80466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49606/80466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49606 ÷ 217
    49606 ÷ 131072     		x = 0.378463745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80466 ÷ 217
    80466 ÷ 131072     		y = 0.613906860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.243072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76363481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613906860351562 × 2 - 1) × π
    -0.227813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.715697911327438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76363481} λ = -0.76363481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715697911327438))-π/2
    2×atan(0.488850818190405)-π/2
    2×0.454688547709567-π/2
    0.909377095419133-1.57079632675     		φ = -0.66141923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76363481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.753052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66141923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.896530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49606 KachelY 80466 -0.76363481 -0.66141923 -43.753052 -37.896530
    Oben rechts KachelX + 1 49607 KachelY 80466 -0.76358687 -0.66141923 -43.750305 -37.896530
    Unten links KachelX 49606 KachelY + 1 80467 -0.76363481 -0.66145706 -43.753052 -37.898698
    Unten rechts KachelX + 1 49607 KachelY + 1 80467 -0.76358687 -0.66145706 -43.750305 -37.898698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66141923--0.66145706) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dl = 241.014930000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66141923--0.66145706) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dr = 241.014930000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76363481--0.76358687) × cos(-0.66141923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78912128235316 × 6371000     		do = 241.017951612305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76363481--0.76358687) × cos(-0.66145706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.789098045187105 × 6371000     		du = 241.010854383667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66141923)-sin(-0.66145706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78912128235316-0.789098045187105)×R²
    abs(-0.76358687--0.76363481)×2.32371660554564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32371660554564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32371660554564e-05×40589641000000     		ar = 58088.0694744406m²