Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49605 / 80555
↖ ↑ ↗
← S 38.089175°
W 43.755798°		 ← 240.39 m → S 38.089175°
W 43.753052°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 38.091337°
W 43.755798°		 ← 240.38 m →
57 783 m²		 S 38.091337°
W 43.753052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378459930419922 y=0.614589691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378459930419922 × 217)
    floor (0.378459930419922 × 131072)
    floor (49605.5)     		tx = 49605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614589691162109 × 217)
    floor (0.614589691162109 × 131072)
    floor (80555.5)     		ty = 80555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49605 / 80555 ti = "17/49605/80555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49605/80555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49605 ÷ 217
    49605 ÷ 131072     		x = 0.378456115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80555 ÷ 217
    80555 ÷ 131072     		y = 0.614585876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378456115722656 × 2 - 1) × π
    -0.243087768554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76368275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614585876464844 × 2 - 1) × π
    -0.229171752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.719964295393623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76368275} λ = -0.76368275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719964295393623))-π/2
    2×atan(0.486769635567938)-π/2
    2×0.453007407389801-π/2
    0.906014814779602-1.57079632675     		φ = -0.66478151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76368275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.755798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66478151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.089175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49605 KachelY 80555 -0.76368275 -0.66478151 -43.755798 -38.089175
    Oben rechts KachelX + 1 49606 KachelY 80555 -0.76363481 -0.66478151 -43.753052 -38.089175
    Unten links KachelX 49605 KachelY + 1 80556 -0.76368275 -0.66481924 -43.755798 -38.091337
    Unten rechts KachelX + 1 49606 KachelY + 1 80556 -0.76363481 -0.66481924 -43.753052 -38.091337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66478151--0.66481924) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dl = 240.37783000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66478151--0.66481924) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dr = 240.37783000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76368275--0.76363481) × cos(-0.66478151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787051587594396 × 6371000     		do = 240.385813559036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76368275--0.76363481) × cos(-0.66481924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787028311880724 × 6371000     		du = 240.378704556963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66478151)-sin(-0.66481924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787051587594396-0.787028311880724)×R²
    abs(-0.76363481--0.76368275)×2.32757136724437e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32757136724437e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32757136724437e-05×40589641000000     		ar = 57782.565809883m²