Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49601 / 81859
↖ ↑ ↗
← S 40.853293°
W 43.766785°		 ← 231.02 m → S 40.853293°
W 43.764038°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 40.855370°
W 43.766785°		 ← 231.01 m →
53 368 m²		 S 40.855370°
W 43.764038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378429412841797 y=0.624538421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378429412841797 × 217)
    floor (0.378429412841797 × 131072)
    floor (49601.5)     		tx = 49601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624538421630859 × 217)
    floor (0.624538421630859 × 131072)
    floor (81859.5)     		ty = 81859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49601 / 81859 ti = "17/49601/81859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49601/81859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49601 ÷ 217
    49601 ÷ 131072     		x = 0.378425598144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81859 ÷ 217
    81859 ÷ 131072     		y = 0.624534606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378425598144531 × 2 - 1) × π
    -0.243148803710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76387450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624534606933594 × 2 - 1) × π
    -0.249069213867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.782474012498177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76387450} λ = -0.76387450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782474012498177))-π/2
    2×atan(0.457273310839317)-π/2
    2×0.428885926092274-π/2
    0.857771852184548-1.57079632675     		φ = -0.71302447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76387450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.766785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71302447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.853293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49601 KachelY 81859 -0.76387450 -0.71302447 -43.766785 -40.853293
    Oben rechts KachelX + 1 49602 KachelY 81859 -0.76382656 -0.71302447 -43.764038 -40.853293
    Unten links KachelX 49601 KachelY + 1 81860 -0.76387450 -0.71306073 -43.766785 -40.855370
    Unten rechts KachelX + 1 49602 KachelY + 1 81860 -0.76382656 -0.71306073 -43.764038 -40.855370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71302447--0.71306073) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71302447--0.71306073) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76387450--0.76382656) × cos(-0.71302447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756386958786491 × 6371000     		do = 231.020046613562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76387450--0.76382656) × cos(-0.71306073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756363239737458 × 6371000     		du = 231.012802205459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71302447)-sin(-0.71306073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756386958786491-0.756363239737458)×R²
    abs(-0.76382656--0.76387450)×2.37190490334216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37190490334216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37190490334216e-05×40589641000000     		ar = 53367.6725091917m²