Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49600 / 81861
↖ ↑ ↗
← S 40.857448°
W 43.769531°		 ← 230.96 m → S 40.857448°
W 43.766785°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
S 40.859525°
W 43.769531°		 ← 230.95 m →
53 353 m²		 S 40.859525°
W 43.766785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378421783447266 y=0.624553680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378421783447266 × 217)
    floor (0.378421783447266 × 131072)
    floor (49600.5)     		tx = 49600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624553680419922 × 217)
    floor (0.624553680419922 × 131072)
    floor (81861.5)     		ty = 81861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49600 / 81861 ti = "17/49600/81861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49600/81861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49600 ÷ 217
    49600 ÷ 131072     		x = 0.37841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81861 ÷ 217
    81861 ÷ 131072     		y = 0.624549865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37841796875 × 2 - 1) × π
    -0.2431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76392243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624549865722656 × 2 - 1) × π
    -0.249099731445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.782569886297417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76392243} λ = -0.76392243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782569886297417))-π/2
    2×atan(0.457229472411227)-π/2
    2×0.428849668383667-π/2
    0.857699336767334-1.57079632675     		φ = -0.71309699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76392243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71309699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.857448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49600 KachelY 81861 -0.76392243 -0.71309699 -43.769531 -40.857448
    Oben rechts KachelX + 1 49601 KachelY 81861 -0.76387450 -0.71309699 -43.766785 -40.857448
    Unten links KachelX 49600 KachelY + 1 81862 -0.76392243 -0.71313325 -43.769531 -40.859525
    Unten rechts KachelX + 1 49601 KachelY + 1 81862 -0.76387450 -0.71313325 -43.766785 -40.859525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71309699--0.71313325) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71309699--0.71313325) × R
    3.62600000000102e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76392243--0.76387450) × cos(-0.71309699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756339519693968 × 6371000     		do = 230.957371103116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76392243--0.76387450) × cos(-0.71313325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756315798656051 × 6371000     		du = 230.950127598824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71309699)-sin(-0.71313325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756339519693968-0.756315798656051)×R²
    abs(-0.76387450--0.76392243)×2.37210379162578e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37210379162578e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37210379162578e-05×40589641000000     		ar = 53353.1937897314m²