Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4960 / 2655
↖ ↑ ↗
← N 76.357080°
W 71.015625°		 ← 576.30 m → N 76.357080°
W 70.993652°		 →
↑
576.38 m
↓
↑
576.38 m
↓
N 76.351896°
W 71.015625°		 ← 576.51 m →
332 230 m²		 N 76.351896°
W 70.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.302764892578125 y=0.162078857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.302764892578125 × 214)
    floor (0.302764892578125 × 16384)
    floor (4960.5)     		tx = 4960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162078857421875 × 214)
    floor (0.162078857421875 × 16384)
    floor (2655.5)     		ty = 2655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4960 / 2655 ti = "14/4960/2655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4960/2655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4960 ÷ 214
    4960 ÷ 16384     		x = 0.302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2655 ÷ 214
    2655 ÷ 16384     		y = 0.16204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.302734375 × 2 - 1) × π
    -0.39453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.23945648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16204833984375 × 2 - 1) × π
    0.6759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12341290557001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23945648} λ = -1.23945648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12341290557001))-π/2
    2×atan(8.35961944869931)-π/2
    2×1.4517393907836-π/2
    2.9034787815672-1.57079632675     		φ = 1.33268245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23945648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -71.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33268245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.357080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4960 KachelY 2655 -1.23945648 1.33268245 -71.015625 76.357080
    Oben rechts KachelX + 1 4961 KachelY 2655 -1.23907298 1.33268245 -70.993652 76.357080
    Unten links KachelX 4960 KachelY + 1 2656 -1.23945648 1.33259198 -71.015625 76.351896
    Unten rechts KachelX + 1 4961 KachelY + 1 2656 -1.23907298 1.33259198 -70.993652 76.351896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33268245-1.33259198) × R
    9.04700000001757e-05 × 6371000     		dl = 576.384370001119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33268245-1.33259198) × R
    9.04700000001757e-05 × 6371000     		dr = 576.384370001119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23945648--1.23907298) × cos(1.33268245) × R
    0.000383500000000092 × 0.235870141610261 × 6371000     		do = 576.296445788444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23945648--1.23907298) × cos(1.33259198) × R
    0.000383500000000092 × 0.235958057996113 × 6371000     		du = 576.511250003794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33268245)-sin(1.33259198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235870141610261-0.235958057996113)×R²
    abs(-1.23907298--1.23945648)×8.79163858519827e-05×R²
    0.000383500000000092×8.79163858519827e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.79163858519827e-05×40589641000000     		ar = 332230.168962331m²