Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49598 / 80474
↖ ↑ ↗
← S 37.913867°
W 43.775025°		 ← 240.96 m → S 37.913867°
W 43.772278°		 →
↑
240.95 m
↓
↑
240.95 m
↓
S 37.916034°
W 43.775025°		 ← 240.95 m →
58 059 m²		 S 37.916034°
W 43.772278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378406524658203 y=0.613971710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378406524658203 × 217)
    floor (0.378406524658203 × 131072)
    floor (49598.5)     		tx = 49598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613971710205078 × 217)
    floor (0.613971710205078 × 131072)
    floor (80474.5)     		ty = 80474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49598 / 80474 ti = "17/49598/80474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49598/80474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49598 ÷ 217
    49598 ÷ 131072     		x = 0.378402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80474 ÷ 217
    80474 ÷ 131072     		y = 0.613967895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.243194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76401831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613967895507812 × 2 - 1) × π
    -0.227935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.716081406524399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76401831} λ = -0.76401831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716081406524399))-π/2
    2×atan(0.488663382192299)-π/2
    2×0.454537253421158-π/2
    0.909074506842317-1.57079632675     		φ = -0.66172182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76401831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.775025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66172182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.913867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49598 KachelY 80474 -0.76401831 -0.66172182 -43.775025 -37.913867
    Oben rechts KachelX + 1 49599 KachelY 80474 -0.76397037 -0.66172182 -43.772278 -37.913867
    Unten links KachelX 49598 KachelY + 1 80475 -0.76401831 -0.66175964 -43.775025 -37.916034
    Unten rechts KachelX + 1 49599 KachelY + 1 80475 -0.76397037 -0.66175964 -43.772278 -37.916034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66172182--0.66175964) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dl = 240.951219999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66172182--0.66175964) × R
    3.78199999999662e-05 × 6371000     		dr = 240.951219999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76401831--0.76397037) × cos(-0.66172182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788935384130402 × 6371000     		do = 240.961173510054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76401831--0.76397037) × cos(-0.66175964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788912144077548 × 6371000     		du = 240.954075399714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66172182)-sin(-0.66175964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788935384130402-0.788912144077548)×R²
    abs(-0.76397037--0.76401831)×2.32400528538124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32400528538124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32400528538124e-05×40589641000000     		ar = 58059.0335876179m²