Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49597 / 80468
↖ ↑ ↗
← S 37.900865°
W 43.777771°		 ← 240.95 m → S 37.900865°
W 43.775025°		 →
↑
240.95 m
↓
↑
240.95 m
↓
S 37.903032°
W 43.777771°		 ← 240.95 m →
58 057 m²		 S 37.903032°
W 43.775025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378398895263672 y=0.613925933837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378398895263672 × 217)
    floor (0.378398895263672 × 131072)
    floor (49597.5)     		tx = 49597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613925933837891 × 217)
    floor (0.613925933837891 × 131072)
    floor (80468.5)     		ty = 80468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49597 / 80468 ti = "17/49597/80468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49597/80468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49597 ÷ 217
    49597 ÷ 131072     		x = 0.378395080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80468 ÷ 217
    80468 ÷ 131072     		y = 0.613922119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378395080566406 × 2 - 1) × π
    -0.243209838867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.76406624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.22784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.715793785126678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76406624} λ = -0.76406624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715793785126678))-π/2
    2×atan(0.488803952451838)-π/2
    2×0.454650720795754-π/2
    0.909301441591507-1.57079632675     		φ = -0.66149489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76406624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.777771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66149489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.900865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49597 KachelY 80468 -0.76406624 -0.66149489 -43.777771 -37.900865
    Oben rechts KachelX + 1 49598 KachelY 80468 -0.76401831 -0.66149489 -43.775025 -37.900865
    Unten links KachelX 49597 KachelY + 1 80469 -0.76406624 -0.66153271 -43.777771 -37.903032
    Unten rechts KachelX + 1 49598 KachelY + 1 80469 -0.76401831 -0.66153271 -43.775025 -37.903032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66149489--0.66153271) × R
    3.78200000000772e-05 × 6371000     		dl = 240.951220000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66149489--0.66153271) × R
    3.78200000000772e-05 × 6371000     		dr = 240.951220000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76406624--0.76401831) × cos(-0.66149489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789074806891764 × 6371000     		do = 240.953484854475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76406624--0.76401831) × cos(-0.66153271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789051573610441 × 6371000     		du = 240.946390292526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66149489)-sin(-0.66153271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789074806891764-0.789051573610441)×R²
    abs(-0.76401831--0.76406624)×2.32332813231428e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32332813231428e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32332813231428e-05×40589641000000     		ar = 58057.1814243144m²