Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49595 / 80459
↖ ↑ ↗
← S 37.881357°
W 43.783264°		 ← 241.07 m → S 37.881357°
W 43.780518°		 →
↑
241.01 m
↓
↑
241.01 m
↓
S 37.883525°
W 43.783264°		 ← 241.06 m →
58 100 m²		 S 37.883525°
W 43.780518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378383636474609 y=0.613857269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378383636474609 × 217)
    floor (0.378383636474609 × 131072)
    floor (49595.5)     		tx = 49595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613857269287109 × 217)
    floor (0.613857269287109 × 131072)
    floor (80459.5)     		ty = 80459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49595 / 80459 ti = "17/49595/80459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49595/80459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49595 ÷ 217
    49595 ÷ 131072     		x = 0.378379821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80459 ÷ 217
    80459 ÷ 131072     		y = 0.613853454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378379821777344 × 2 - 1) × π
    -0.243240356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76416212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613853454589844 × 2 - 1) × π
    -0.227706909179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.715362353030098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76416212} λ = -0.76416212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715362353030098))-π/2
    2×atan(0.489014883663837)-π/2
    2×0.454820959450214-π/2
    0.909641918900428-1.57079632675     		φ = -0.66115441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76416212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.783264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66115441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.881357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49595 KachelY 80459 -0.76416212 -0.66115441 -43.783264 -37.881357
    Oben rechts KachelX + 1 49596 KachelY 80459 -0.76411418 -0.66115441 -43.780518 -37.881357
    Unten links KachelX 49595 KachelY + 1 80460 -0.76416212 -0.66119224 -43.783264 -37.883525
    Unten rechts KachelX + 1 49596 KachelY + 1 80460 -0.76411418 -0.66119224 -43.780518 -37.883525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66115441--0.66119224) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dl = 241.014930000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66115441--0.66119224) × R
    3.78300000000165e-05 × 6371000     		dr = 241.014930000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76416212--0.76411418) × cos(-0.66115441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.789283917033053 × 6371000     		do = 241.067624429761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76416212--0.76411418) × cos(-0.66119224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.789260687773224 × 6371000     		du = 241.060529615888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66115441)-sin(-0.66119224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789283917033053-0.789260687773224)×R²
    abs(-0.76411418--0.76416212)×2.32292598292272e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32292598292272e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32292598292272e-05×40589641000000     		ar = 58100.0416561345m²