Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49594 / 80460
↖ ↑ ↗
← S 37.883525°
W 43.786011°		 ← 241.01 m → S 37.883525°
W 43.783264°		 →
↑
241.08 m
↓
↑
241.08 m
↓
S 37.885693°
W 43.786011°		 ← 241 m →
58 102 m²		 S 37.885693°
W 43.783264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378376007080078 y=0.613864898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378376007080078 × 217)
    floor (0.378376007080078 × 131072)
    floor (49594.5)     		tx = 49594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613864898681641 × 217)
    floor (0.613864898681641 × 131072)
    floor (80460.5)     		ty = 80460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49594 / 80460 ti = "17/49594/80460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49594/80460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49594 ÷ 217
    49594 ÷ 131072     		x = 0.378372192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80460 ÷ 217
    80460 ÷ 131072     		y = 0.613861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378372192382812 × 2 - 1) × π
    -0.243255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76421005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.22772216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.715410289929718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76421005} λ = -0.76421005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.715410289929718))-π/2
    2×atan(0.488991442368302)-π/2
    2×0.454802041816655-π/2
    0.909604083633309-1.57079632675     		φ = -0.66119224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76421005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.786011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66119224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.883525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49594 KachelY 80460 -0.76421005 -0.66119224 -43.786011 -37.883525
    Oben rechts KachelX + 1 49595 KachelY 80460 -0.76416212 -0.66119224 -43.783264 -37.883525
    Unten links KachelX 49594 KachelY + 1 80461 -0.76421005 -0.66123008 -43.786011 -37.885693
    Unten rechts KachelX + 1 49595 KachelY + 1 80461 -0.76416212 -0.66123008 -43.783264 -37.885693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66119224--0.66123008) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dl = 241.078640000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66119224--0.66123008) × R
    3.78400000000667e-05 × 6371000     		dr = 241.078640000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76421005--0.76416212) × cos(-0.66119224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789260687773224 × 6371000     		do = 241.010245817775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76421005--0.76416212) × cos(-0.66123008) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789237451242996 × 6371000     		du = 241.003150263735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66119224)-sin(-0.66123008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789260687773224-0.789237451242996)×R²
    abs(-0.76416212--0.76421005)×2.32365302286208e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32365302286208e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32365302286208e-05×40589641000000     		ar = 58101.5670014949m²