Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49593 / 82775
↖ ↑ ↗
← S 42.728857°
W 43.788757°		 ← 224.36 m → S 42.728857°
W 43.786011°		 →
↑
224.32 m
↓
↑
224.32 m
↓
S 42.730874°
W 43.788757°		 ← 224.35 m →
50 328 m²		 S 42.730874°
W 43.786011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378368377685547 y=0.631526947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378368377685547 × 217)
    floor (0.378368377685547 × 131072)
    floor (49593.5)     		tx = 49593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631526947021484 × 217)
    floor (0.631526947021484 × 131072)
    floor (82775.5)     		ty = 82775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49593 / 82775 ti = "17/49593/82775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49593/82775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49593 ÷ 217
    49593 ÷ 131072     		x = 0.378364562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82775 ÷ 217
    82775 ÷ 131072     		y = 0.631523132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378364562988281 × 2 - 1) × π
    -0.243270874023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76425799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631523132324219 × 2 - 1) × π
    -0.263046264648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.826384212550148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76425799} λ = -0.76425799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826384212550148))-π/2
    2×atan(0.437628801733665)-π/2
    2×0.412518545480028-π/2
    0.825037090960056-1.57079632675     		φ = -0.74575924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76425799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.788757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74575924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.728857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49593 KachelY 82775 -0.76425799 -0.74575924 -43.788757 -42.728857
    Oben rechts KachelX + 1 49594 KachelY 82775 -0.76421005 -0.74575924 -43.786011 -42.728857
    Unten links KachelX 49593 KachelY + 1 82776 -0.76425799 -0.74579445 -43.788757 -42.730874
    Unten rechts KachelX + 1 49594 KachelY + 1 82776 -0.76421005 -0.74579445 -43.786011 -42.730874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74575924--0.74579445) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dl = 224.322909999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74575924--0.74579445) × R
    3.52099999999522e-05 × 6371000     		dr = 224.322909999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76425799--0.76421005) × cos(-0.74575924) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734572947244423 × 6371000     		do = 224.357485996481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76425799--0.76421005) × cos(-0.74579445) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.734549055757535 × 6371000     		du = 224.350188921419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74575924)-sin(-0.74579445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734572947244423-0.734549055757535)×R²
    abs(-0.76421005--0.76425799)×2.38914868878615e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38914868878615e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38914868878615e-05×40589641000000     		ar = 50327.7056936525m²