Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49590 / 58102
↖ ↑ ↗
← N 19.999161°
W 43.796997°		 ← 287.01 m → N 19.999161°
W 43.794250°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.996579°
W 43.796997°		 ← 287.01 m →
82 376 m²		 N 19.996579°
W 43.794250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378345489501953 y=0.443286895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378345489501953 × 217)
    floor (0.378345489501953 × 131072)
    floor (49590.5)     		tx = 49590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443286895751953 × 217)
    floor (0.443286895751953 × 131072)
    floor (58102.5)     		ty = 58102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49590 / 58102 ti = "17/49590/58102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49590/58102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49590 ÷ 217
    49590 ÷ 131072     		x = 0.378341674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58102 ÷ 217
    58102 ÷ 131072     		y = 0.443283081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378341674804688 × 2 - 1) × π
    -0.243316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76440180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443283081054688 × 2 - 1) × π
    0.113433837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356362911775497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76440180} λ = -0.76440180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356362911775497))-π/2
    2×atan(1.42812573787677)-π/2
    2×0.959923762287812-π/2
    1.91984752457562-1.57079632675     		φ = 0.34905120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76440180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.796997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34905120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.999161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49590 KachelY 58102 -0.76440180 0.34905120 -43.796997 19.999161
    Oben rechts KachelX + 1 49591 KachelY 58102 -0.76435386 0.34905120 -43.794250 19.999161
    Unten links KachelX 49590 KachelY + 1 58103 -0.76440180 0.34900615 -43.796997 19.996579
    Unten rechts KachelX + 1 49591 KachelY + 1 58103 -0.76435386 0.34900615 -43.794250 19.996579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34905120-0.34900615) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34905120-0.34900615) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76440180--0.76435386) × cos(0.34905120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939697631416583 × 6371000     		do = 287.007844451469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76440180--0.76435386) × cos(0.34900615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939713037850276 × 6371000     		du = 287.01254997288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34905120)-sin(0.34900615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939697631416583-0.939713037850276)×R²
    abs(-0.76435386--0.76440180)×1.54064336930215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54064336930215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54064336930215e-05×40589641000000     		ar = 82375.8156019194m²