Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49587 / 80594
↖ ↑ ↗
← S 38.173433°
W 43.805237°		 ← 240.06 m → S 38.173433°
W 43.802491°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 38.175592°
W 43.805237°		 ← 240.05 m →
57 627 m²		 S 38.175592°
W 43.802491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378322601318359 y=0.614887237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378322601318359 × 217)
    floor (0.378322601318359 × 131072)
    floor (49587.5)     		tx = 49587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614887237548828 × 217)
    floor (0.614887237548828 × 131072)
    floor (80594.5)     		ty = 80594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49587 / 80594 ti = "17/49587/80594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49587/80594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49587 ÷ 217
    49587 ÷ 131072     		x = 0.378318786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80594 ÷ 217
    80594 ÷ 131072     		y = 0.614883422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378318786621094 × 2 - 1) × π
    -0.243362426757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.76454561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614883422851562 × 2 - 1) × π
    -0.229766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.721833834478806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76454561} λ = -0.76454561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721833834478806))-π/2
    2×atan(0.485860450851758)-π/2
    2×0.452272119886774-π/2
    0.904544239773548-1.57079632675     		φ = -0.66625209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76454561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.805237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66625209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.173433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49587 KachelY 80594 -0.76454561 -0.66625209 -43.805237 -38.173433
    Oben rechts KachelX + 1 49588 KachelY 80594 -0.76449768 -0.66625209 -43.802491 -38.173433
    Unten links KachelX 49587 KachelY + 1 80595 -0.76454561 -0.66628977 -43.805237 -38.175592
    Unten rechts KachelX + 1 49588 KachelY + 1 80595 -0.76449768 -0.66628977 -43.802491 -38.175592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66625209--0.66628977) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66625209--0.66628977) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76454561--0.76449768) × cos(-0.66625209) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.786143554924609 × 6371000     		do = 240.058391803342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76454561--0.76449768) × cos(-0.66628977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.786120266470901 × 6371000     		du = 240.051280393842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66625209)-sin(-0.66628977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786143554924609-0.786120266470901)×R²
    abs(-0.76449768--0.76454561)×2.32884537081368e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32884537081368e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32884537081368e-05×40589641000000     		ar = 57627.3911212545m²