Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49585 / 58115
↖ ↑ ↗
← N 19.965604°
W 43.810730°		 ← 287.07 m → N 19.965604°
W 43.807983°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.963023°
W 43.810730°		 ← 287.07 m →
82 393 m²		 N 19.963023°
W 43.807983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378307342529297 y=0.443386077880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378307342529297 × 217)
    floor (0.378307342529297 × 131072)
    floor (49585.5)     		tx = 49585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443386077880859 × 217)
    floor (0.443386077880859 × 131072)
    floor (58115.5)     		ty = 58115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49585 / 58115 ti = "17/49585/58115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49585/58115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49585 ÷ 217
    49585 ÷ 131072     		x = 0.378303527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58115 ÷ 217
    58115 ÷ 131072     		y = 0.443382263183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378303527832031 × 2 - 1) × π
    -0.243392944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76464149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443382263183594 × 2 - 1) × π
    0.113235473632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.355739732080437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76464149} λ = -0.76464149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355739732080437))-π/2
    2×atan(1.42723603616574)-π/2
    2×0.959630930857933-π/2
    1.91926186171587-1.57079632675     		φ = 0.34846553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76464149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.810730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34846553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.965604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49585 KachelY 58115 -0.76464149 0.34846553 -43.810730 19.965604
    Oben rechts KachelX + 1 49586 KachelY 58115 -0.76459355 0.34846553 -43.807983 19.965604
    Unten links KachelX 49585 KachelY + 1 58116 -0.76464149 0.34842048 -43.810730 19.963023
    Unten rechts KachelX + 1 49586 KachelY + 1 58116 -0.76459355 0.34842048 -43.807983 19.963023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34846553-0.34842048) × R
    4.50500000000464e-05 × 6371000     		dl = 287.013550000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34846553-0.34842048) × R
    4.50500000000464e-05 × 6371000     		dr = 287.013550000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76464149--0.76459355) × cos(0.34846553) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939897773117077 × 6371000     		do = 287.068972879112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76464149--0.76459355) × cos(0.34842048) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939913154754536 × 6371000     		du = 287.073670827115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34846553)-sin(0.34842048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939897773117077-0.939913154754536)×R²
    abs(-0.76459355--0.76464149)×1.53816374592886e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.53816374592886e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.53816374592886e-05×40589641000000     		ar = 82393.3592023519m²