Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49584 / 81840
↖ ↑ ↗
← S 40.813809°
W 43.813476°		 ← 231.11 m → S 40.813809°
W 43.810730°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
S 40.815888°
W 43.813476°		 ← 231.10 m →
53 418 m²		 S 40.815888°
W 43.810730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378299713134766 y=0.624393463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378299713134766 × 217)
    floor (0.378299713134766 × 131072)
    floor (49584.5)     		tx = 49584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624393463134766 × 217)
    floor (0.624393463134766 × 131072)
    floor (81840.5)     		ty = 81840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49584 / 81840 ti = "17/49584/81840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49584/81840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49584 ÷ 217
    49584 ÷ 131072     		x = 0.3782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81840 ÷ 217
    81840 ÷ 131072     		y = 0.6243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.243408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76468942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.781563211405396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76468942} λ = -0.76468942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.781563211405396))-π/2
    2×atan(0.457689985595636)-π/2
    2×0.429230487728755-π/2
    0.85846097545751-1.57079632675     		φ = -0.71233535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76468942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.813476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71233535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.813809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49584 KachelY 81840 -0.76468942 -0.71233535 -43.813476 -40.813809
    Oben rechts KachelX + 1 49585 KachelY 81840 -0.76464149 -0.71233535 -43.810730 -40.813809
    Unten links KachelX 49584 KachelY + 1 81841 -0.76468942 -0.71237163 -43.813476 -40.815888
    Unten rechts KachelX + 1 49585 KachelY + 1 81841 -0.76464149 -0.71237163 -43.810730 -40.815888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71233535--0.71237163) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71233535--0.71237163) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76468942--0.76464149) × cos(-0.71233535) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.756837549378384 × 6371000     		do = 231.109450458015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76468942--0.76464149) × cos(-0.71237163) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.756813836162287 × 6371000     		du = 231.10220934221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71233535)-sin(-0.71237163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756837549378384-0.756813836162287)×R²
    abs(-0.76464149--0.76468942)×2.37132160965103e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37132160965103e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37132160965103e-05×40589641000000     		ar = 53417.7737961399m²