Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49582 / 80491
↖ ↑ ↗
← S 37.950695°
W 43.818970°		 ← 240.84 m → S 37.950695°
W 43.816223°		 →
↑
240.82 m
↓
↑
240.82 m
↓
S 37.952861°
W 43.818970°		 ← 240.83 m →
57 999 m²		 S 37.952861°
W 43.816223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378284454345703 y=0.614101409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378284454345703 × 217)
    floor (0.378284454345703 × 131072)
    floor (49582.5)     		tx = 49582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614101409912109 × 217)
    floor (0.614101409912109 × 131072)
    floor (80491.5)     		ty = 80491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49582 / 80491 ti = "17/49582/80491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49582/80491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49582 ÷ 217
    49582 ÷ 131072     		x = 0.378280639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80491 ÷ 217
    80491 ÷ 131072     		y = 0.614097595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.243438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76478530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614097595214844 × 2 - 1) × π
    -0.228195190429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.71689633381794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76478530} λ = -0.76478530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.71689633381794))-π/2
    2×atan(0.48826531928299)-π/2
    2×0.454215871427879-π/2
    0.908431742855758-1.57079632675     		φ = -0.66236458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76478530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.818970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66236458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.950695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49582 KachelY 80491 -0.76478530 -0.66236458 -43.818970 -37.950695
    Oben rechts KachelX + 1 49583 KachelY 80491 -0.76473736 -0.66236458 -43.816223 -37.950695
    Unten links KachelX 49582 KachelY + 1 80492 -0.76478530 -0.66240238 -43.818970 -37.952861
    Unten rechts KachelX + 1 49583 KachelY + 1 80492 -0.76473736 -0.66240238 -43.816223 -37.952861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66236458--0.66240238) × R
    3.77999999999767e-05 × 6371000     		dl = 240.823799999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66236458--0.66240238) × R
    3.77999999999767e-05 × 6371000     		dr = 240.823799999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76478530--0.76473736) × cos(-0.66236458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78854026048603 × 6371000     		do = 240.840492578581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76478530--0.76473736) × cos(-0.66240238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788517013560145 × 6371000     		du = 240.83339236904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66236458)-sin(-0.66240238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78854026048603-0.788517013560145)×R²
    abs(-0.76473736--0.76478530)×2.32469258850676e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32469258850676e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32469258850676e-05×40589641000000     		ar = 57999.267673701m²