Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49580 / 82820
↖ ↑ ↗
← S 42.819581°
W 43.824463°		 ← 224.03 m → S 42.819581°
W 43.821716°		 →
↑
224 m
↓
↑
224 m
↓
S 42.821595°
W 43.824463°		 ← 224.02 m →
50 183 m²		 S 42.821595°
W 43.821716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378269195556641 y=0.631870269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378269195556641 × 217)
    floor (0.378269195556641 × 131072)
    floor (49580.5)     		tx = 49580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631870269775391 × 217)
    floor (0.631870269775391 × 131072)
    floor (82820.5)     		ty = 82820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49580 / 82820 ti = "17/49580/82820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49580/82820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49580 ÷ 217
    49580 ÷ 131072     		x = 0.378265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82820 ÷ 217
    82820 ÷ 131072     		y = 0.631866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.24346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76488117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631866455078125 × 2 - 1) × π
    -0.26373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.828541373033051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76488117} λ = -0.76488117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.828541373033051))-π/2
    2×atan(0.436685783662726)-π/2
    2×0.411726829499079-π/2
    0.823453658998158-1.57079632675     		φ = -0.74734267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76488117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.824463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74734267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.819581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49580 KachelY 82820 -0.76488117 -0.74734267 -43.824463 -42.819581
    Oben rechts KachelX + 1 49581 KachelY 82820 -0.76483323 -0.74734267 -43.821716 -42.819581
    Unten links KachelX 49580 KachelY + 1 82821 -0.76488117 -0.74737783 -43.824463 -42.821595
    Unten rechts KachelX + 1 49581 KachelY + 1 82821 -0.76483323 -0.74737783 -43.821716 -42.821595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74734267--0.74737783) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dl = 224.004360000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74734267--0.74737783) × R
    3.51600000000341e-05 × 6371000     		dr = 224.004360000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76488117--0.76483323) × cos(-0.74734267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733497622494861 × 6371000     		do = 224.029054138587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76488117--0.76483323) × cos(-0.74737783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733473724070169 × 6371000     		du = 224.02175494454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74734267)-sin(-0.74737783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733497622494861-0.733473724070169)×R²
    abs(-0.76483323--0.76488117)×2.38984246925256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38984246925256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38984246925256e-05×40589641000000     		ar = 50182.6673732736m²