Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49580 / 80614
↖ ↑ ↗
← S 38.216604°
W 43.824463°		 ← 239.97 m → S 38.216604°
W 43.821716°		 →
↑
239.93 m
↓
↑
239.93 m
↓
S 38.218762°
W 43.824463°		 ← 239.96 m →
57 575 m²		 S 38.218762°
W 43.821716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378269195556641 y=0.615039825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378269195556641 × 217)
    floor (0.378269195556641 × 131072)
    floor (49580.5)     		tx = 49580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615039825439453 × 217)
    floor (0.615039825439453 × 131072)
    floor (80614.5)     		ty = 80614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49580 / 80614 ti = "17/49580/80614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49580/80614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49580 ÷ 217
    49580 ÷ 131072     		x = 0.378265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80614 ÷ 217
    80614 ÷ 131072     		y = 0.615036010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.24346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76488117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615036010742188 × 2 - 1) × π
    -0.230072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.722792572471207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76488117} λ = -0.76488117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722792572471207))-π/2
    2×atan(0.485394861203427)-π/2
    2×0.451895378703311-π/2
    0.903790757406621-1.57079632675     		φ = -0.66700557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76488117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.824463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66700557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.216604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49580 KachelY 80614 -0.76488117 -0.66700557 -43.824463 -38.216604
    Oben rechts KachelX + 1 49581 KachelY 80614 -0.76483323 -0.66700557 -43.821716 -38.216604
    Unten links KachelX 49580 KachelY + 1 80615 -0.76488117 -0.66704323 -43.824463 -38.218762
    Unten rechts KachelX + 1 49581 KachelY + 1 80615 -0.76483323 -0.66704323 -43.821716 -38.218762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66700557--0.66704323) × R
    3.76599999999394e-05 × 6371000     		dl = 239.931859999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66700557--0.66704323) × R
    3.76599999999394e-05 × 6371000     		dr = 239.931859999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76488117--0.76483323) × cos(-0.66700557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785677648061742 × 6371000     		do = 239.96617706056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76488117--0.76483323) × cos(-0.66704323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78565434966879 × 6371000     		du = 239.959061131652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66700557)-sin(-0.66704323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785677648061742-0.78565434966879)×R²
    abs(-0.76483323--0.76488117)×2.32983929515651e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32983929515651e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32983929515651e-05×40589641000000     		ar = 57574.6775370142m²