Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49578 / 80622
↖ ↑ ↗
← S 38.233866°
W 43.829956°		 ← 239.86 m → S 38.233866°
W 43.827210°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.236023°
W 43.829956°		 ← 239.85 m →
57 534 m²		 S 38.236023°
W 43.827210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378253936767578 y=0.615100860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378253936767578 × 217)
    floor (0.378253936767578 × 131072)
    floor (49578.5)     		tx = 49578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615100860595703 × 217)
    floor (0.615100860595703 × 131072)
    floor (80622.5)     		ty = 80622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49578 / 80622 ti = "17/49578/80622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49578/80622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49578 ÷ 217
    49578 ÷ 131072     		x = 0.378250122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80622 ÷ 217
    80622 ÷ 131072     		y = 0.615097045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.243499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76497704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.230194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.723176067668167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76497704} λ = -0.76497704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723176067668167))-π/2
    2×atan(0.485208750294127)-π/2
    2×0.451744744772524-π/2
    0.903489489545049-1.57079632675     		φ = -0.66730684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76497704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.829956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66730684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.233866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49578 KachelY 80622 -0.76497704 -0.66730684 -43.829956 -38.233866
    Oben rechts KachelX + 1 49579 KachelY 80622 -0.76492911 -0.66730684 -43.827210 -38.233866
    Unten links KachelX 49578 KachelY + 1 80623 -0.76497704 -0.66734449 -43.829956 -38.236023
    Unten rechts KachelX + 1 49579 KachelY + 1 80623 -0.76492911 -0.66734449 -43.827210 -38.236023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66730684--0.66734449) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66730684--0.66734449) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76497704--0.76492911) × cos(-0.66730684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785491235909025 × 6371000     		do = 239.859198344535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76497704--0.76492911) × cos(-0.66734449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785467934792123 × 6371000     		du = 239.852083068177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66730684)-sin(-0.66734449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785491235909025-0.785467934792123)×R²
    abs(-0.76492911--0.76497704)×2.33011169019637e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33011169019637e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33011169019637e-05×40589641000000     		ar = 57533.7288101526m²