Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49578 / 58109
↖ ↑ ↗
← N 19.981093°
W 43.829956°		 ← 286.98 m → N 19.981093°
W 43.827210°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.978511°
W 43.829956°		 ← 286.99 m →
82 386 m²		 N 19.978511°
W 43.827210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378253936767578 y=0.443340301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378253936767578 × 217)
    floor (0.378253936767578 × 131072)
    floor (49578.5)     		tx = 49578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443340301513672 × 217)
    floor (0.443340301513672 × 131072)
    floor (58109.5)     		ty = 58109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49578 / 58109 ti = "17/49578/58109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49578/58109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49578 ÷ 217
    49578 ÷ 131072     		x = 0.378250122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58109 ÷ 217
    58109 ÷ 131072     		y = 0.443336486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.243499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76497704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443336486816406 × 2 - 1) × π
    0.113327026367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.356027353478157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76497704} λ = -0.76497704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356027353478157))-π/2
    2×atan(1.42764659882982)-π/2
    2×0.959766091574476-π/2
    1.91953218314895-1.57079632675     		φ = 0.34873586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76497704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.829956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34873586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.981093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49578 KachelY 58109 -0.76497704 0.34873586 -43.829956 19.981093
    Oben rechts KachelX + 1 49579 KachelY 58109 -0.76492911 0.34873586 -43.827210 19.981093
    Unten links KachelX 49578 KachelY + 1 58110 -0.76497704 0.34869080 -43.829956 19.978511
    Unten rechts KachelX + 1 49579 KachelY + 1 58110 -0.76492911 0.34869080 -43.827210 19.978511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34873586-0.34869080) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34873586-0.34869080) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76497704--0.76492911) × cos(0.34873586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939805432984091 × 6371000     		do = 286.980894821227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76497704--0.76492911) × cos(0.34869080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939820829484178 × 6371000     		du = 286.985596327748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34873586)-sin(0.34869080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939805432984091-0.939820829484178)×R²
    abs(-0.76492911--0.76497704)×1.53965000871947e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53965000871947e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53965000871947e-05×40589641000000     		ar = 82386.3638194119m²